瑞典非政府教育改革项目“身体与灵魂”的分析与启示

李红玲

（1．首都师范大学 数学科学学院，北京 100048；2．宿迁学院 教师教育系，江苏 宿迁 223800）

教材是教学的依据，教材建设的成功与否对教学质量起到一定程度的提升或制约作用．中国大学教材建设在近代历经编印讲义、引进国外原版教材到本土化教材的发展历程，并呈现由民间自主编印到国家统一出版的趋势．近代大学教材发展所呈现出的这种特点既受当时政治经济文化等因素的影响，又受教育自身发展规律的制约．当前，在高等教育迅猛发展的新时期，大学教材建设显得尤为迫切[1]．以数学为例，中国高校数学教材的建设存在一些不容乐观的现象：每年都有大量崭新的教材出现，但是教材内容却鲜有变化，趋于稳定状态．各类教材的内容是否已经完善到适应不同层次教学的要求了呢？实践研究发现，已有教材仍然存在一些针对性不足的问题：国内名校的数学教材基于纯粹理论知识编写，对地方高校而言显得内容偏难、脱离实际；文科数学教材由理工科教材转型而来，导致其难度偏深、形式单一、缺乏数学文化的合理有机渗透；高职教材改自本专科院校教材，存在内容陈旧、现代信息技术吸收不足、与专业培养目标断裂、人文素质内容欠缺等问题[2～5]．《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》中提出：“信息技术对教育发展具有革命性的影响，必须予以高度重视．把教育信息化纳入国家信息化发展整体战略，超前部署教育信息网络．到2020年，基本建成覆盖城乡各级各类学校的教育信息化体系，促进教育内容、教学手段和方法现代化”，还提到：要“加强课程教材建设”“深化教学改革”，并且明确提到要“改革教学内容”．教学内容该如何进行改革，如何使得教学内容现代化，这是众人关注的焦点．他山之石，可以攻玉，下面根据对瑞典非政府教育改革项目“身体与灵魂”的分析来寻找启发．

1 “身体与灵魂”项目的背景与缘起

自18世纪末到20世纪中期，瑞典由一个贫穷落后的小国一跃成为世界上最富有的国家之一，在全球科技和经济等领域都具有举足轻重的地位．这一切在很大程度上要归功于瑞典一直高度重视教育．进入20世纪以来，瑞典的教育事业经历了几次较大的改革．除了政府在不断地进行教育改革之外，一些非政府学术组织也致力于教育改革与实践．由于不受政府政治经济等框架的约束，学术组织往往是从纯学术的角度来进行改革实践，所以比政府的教育改革更具学术性与独立性．

从计算机发明至今，人们的生活与工作都随之产生了革命性的变化，可是教育系统却对此反应迟钝，由此造成与社会的脱节．2003年1月23日，瑞典政府建立了数学代表团，目的是分析瑞典教学的现状．2004年5月28日，数学代表团递交了分析报告，可是结论中没有提到数学教育中存在的危机，也没有提到因计算机的发展而造成的数学的变化．这与Claes Johnson的观点截然相反．

Claes Johnson是瑞典斯德哥尔摩皇家技术学院的应用数学教授，硕果累累著作等身．他曾长期进行计算数学方面的科学研究工作，致力于制定出一个一般方法来解微分方程．就如同站到山顶回首来时路才一目了然地发现有更好的攀登路径一样，当他站到应用数学的高峰上俯视基础数学后，发现了更方便、更高效、更合适的知识路径，当即决定对基础数学进行重新编排以助后人．于是转身投入数学教育，组建团队，将计算数学与微积分、线性代数等基础学科融会贯通，做出了“身体与灵魂”项目．并从1999年的秋季，在哥德堡市的查莫斯大学对学生进行教学实验．他的观点是：整个教育系统中的关键原则在于教育是以科学为基础，因此现在的教育应该是建立在现代科学基础之上的．而如今标准数学教育的科学依据建立于19世纪，是在20世纪中叶发明计算机之前．计算机现在正改变着科学、工程学和社会对数学的使用．因此，现在的数学教育与现在的科学之间存在脱节，需要进行改革，这是一场基于计算数学的信息革命．

针对数学代表团的结论，Claes Johnson及其合作者们在《瑞典日报》上发表多篇文章进行深度剖析，讨论是否需要进行数学教育改革．与此同时，他们大力推广“身体与灵魂”项目，以具体的实践来对数学教育改革进行探索[6]．

2 “身体与灵魂”项目的内容和特点及其本质

“身体与灵魂”项目的目标是双重的：首先，要证明计算机正在以一种深刻的方式改变着数学，因此数学教育改革势在必行；其次，对于如何进行改革，该项目给出了积极的探索与讨论．它提供的是既容易理解又有用的数学．

2.1 内 容

法国寓言诗人拉封丹说过：“寓言可以分为身体与灵魂两部分，所述的故事好比是身体，而给予人们的教育就好比是灵魂．”通常在教学中，会将所教的内容比作是身体，将思想方法比作是灵魂．而在“身体与灵魂”项目中，第一层的意思：“身体”指的是计算数学，“灵魂”指的是符号数学，要将身体与灵魂合二为一，就是要将计算机算法与经典的符号数学有机地合成．第二层的意思：将“身体”视为计算机，将“灵魂”视为大脑，用大脑去建立方程，用计算机来解方程．既充分使用自身的思考分析能力，又充分利用计算机的先进计算优势，珠联璧合、相得益彰．

“身体与灵魂”项目内容包含书籍、软件与教育材料．最新版的书籍Body and Soul Mathematical Simulation Technology Draft[7]中包含16部分的内容．第一部分是前言引入，作者对国家存在的数学危机以及无人负责的状态进行了描述，分析了危机存在的原因——计算机的迅猛发展与数学知识长期未作更新之间的矛盾，并给出了对策——数学教育改革势在必行，必须使得数学满足计算机时代的要求．其他15部分分别介绍了牛顿力学、微积分、解析几何、微分方程、有限元等知识，其中第三部分应用计算数学与牛顿力学的知识共同设计虚拟游戏，对球的撞击、钟摆运动、自行车行驶、飞行器设计等进行分析探讨．第十部分给出了飞行、航行、跳跃、射击、声腔、气候预测这几方面的模拟器，并在第十一部分中专门给出了这几方面的具体数值模拟技术：公式、推理等知识点．第十六部分的头脑风暴中讨论了洛伦兹方程与混沌本质，并对太阳系中 9大星座进行了探讨研究．在正文中，作者采用建构的方式、使用生动的实验、通过有趣的言论、综合地呈现出一个个知识点，将数学知识与计算机应用紧密地结合起来，将数学中的游戏娱乐、美学欣赏、哲学思考、实用价值探索等因素完美地结合为一体，用具体的实践指出了教育改革的新方向．

2.2 特 点

首先，思想新颖，内容综合，主线鲜明．该项目奠基于数学、计算机与应用，它将数学与计算机有机合成，开启了数学教学的应用程序，给出了现代数学方法在力学、物理学、化学和应用学科等方面有效应用的基础．计算数学可以将简单的代数方程拓展到一般的微分方程，使得原本只对特定人群有意义的数学练习转化为对很多人有益的活动．同时，计算数学是建构交互式虚拟世界的一个有效工具，科学领域可以看作是由科学家创建的虚拟世界，并被用来从中发现真实世界的真理．这与中国科学大师钱学森先生的“大成智慧学”有着相通之处．钱先生提出，在以信息革命为先导的“第五次产业革命”的浪潮中，应当充分利用高科技，特别是电子信息技术进行教育，实现智能的集成和飞跃，使21世纪的中国人能在第五次产业革命和世界社会形态中发挥作用．钱先生还提出人才必备条件包含“熟悉信息网络，善于用电子计算机处理知识”[8]．可见，中西方有识之士所见略同：利用计算机，将复杂的知识进行简单化的分解计算，将高深的知识转化成大众化的应用．

其次，建构方法，提倡思考，注重实践．该项目从学生的角度考虑问题，着重于提供可理解的数学，所以多是跟随原创者的脚步、探索发现之旅，建构性地给出定义和定理．其目的是让学生掌握如何从一些非常基本的事实中发展出数学理论来，让学生拥有解释建构性思路的能力．这个过程中就需要学生对事实进行质问，从而加强其洞察力的发展．例如，在无穷级数中，介绍到“阿基里斯追龟悖论”．首先以故事的形式给出该悖论，吸引兴趣，引发思考；然后给出相应的实验和游戏，让学生在动手操作的过程中有所悟；最后才给出数学的严谨论证．又如解析几何部分，用2R的坐标系来研究欧几里得平面中解析几何的基本知识，跟随笛卡尔的基本思路使用数组来描述几何．

马丁·路德金曾经说过：“教育的功能就是教会人们深入地思考和批判性地思考”，该项目就致力于引导学生去思考、去质疑，作者对读者的要求是：阅读课本，并质疑课本！例如，常规的教科书会将积分解释为面积，而该项目中对此提出质疑，认为：不是所有的积分都可以看做面积，这种把新概念用大家熟悉的东西来解释的教育观点，从数学角度来看是值得质疑的．所以它采取的是将积分解释为初值问题的解，这对所有的积分都成立．

该项目注重学生的实践能力，多有设计实验和游戏环节．其中第十部分就是模拟器章节，游戏世界中的模拟大多基于粒子—物质模型，该部分将之扩大到微分方程模型，给出了飞行、航行、跳跃、射击、声腔、气候预测这几方面的模拟器，并在第十一部分中专门给出了这几方面的具体数值模拟技术：公式、推理等知识点．根据约翰·赫伊津哈在《游戏的人》中提倡的多游戏思想，该项目在一些专业的内容后面追加作者所设计的小游戏，如弹性球运动游戏、计算竞赛游戏等，寓教于乐，让读者在动手动脑的游戏中得到知识与快乐．该项目将内容整合于网络平台上，将之描述为学生与老师和教学资料来打不同电脑游戏的互动数值模拟的新形式，就像是关于如何建构游戏的一个游戏．美国著名数学科普作家马丁·加德纳曾经作过这样的评价：“唤醒学生的最好方法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西．”游戏可以使任何水平的学生都从自己的最佳观测点面对每一个题材．这样，学生除了学到数学内容、体验数学的思维方式之外，还可以培养正确的学习态度：不同的思路、创造、动力、兴趣、热情、喜悦……[9]

最后，趣味穿插，涉及广泛，例证鲜活．该项目覆盖面广，且趣味性很强．几乎在每章内容的开头都有各式格言，旁征博引，五花八门，引发读者的哲学思考．有音乐家查理·明格斯的“把简单的东西复杂化，这是平庸；把复杂的东西简单化，则是创新”，有数学家笛卡尔的“我疑故我思，我思故我在”，有缅甸政治家昂山素季的政治主见，还有小熊维尼童话书中的句摘．这些格言言简意赅、含义深刻并引人深思，既对下面的内容有了点化，同时也让学生有了思考与感悟．每章都含有幽默插图，视频截图或者数学家图片．内容中也常引用各种社会著名事件，比如毕达哥拉斯学派的门事件，20世纪70年代美国发生的水门事件，2009年11月发生的气候门事件．内容中还有很多前沿知识，比如探讨全球变暖问题，飞行的秘密以及千禧七大难题之一的纳维—斯托克斯方程等．这些内容的穿插，将书本的知识与现实的鲜活事件紧密联系了起来，使得知识更具有时代特征．

2.3 本 质

究其本质，可知“身体与灵魂”项目体现的是对基础数学知识教材的与时俱进的完善．万事万物都是在不断地变化与发展当中，科学也不例外．因此，要用发展的观点来面对科学，除了对前沿科学的不断延伸拓展之外，同样也要用发展的观点来审视基础数学知识．真理的内涵是不变的，但是随着外界的变化，对真理的解读与应用方式是与时俱进的．面对传统与经典，想要更好地继承其思想精髓，就需要合适的解读与应用方式．基础数学知识的思想精髓是不变的，但是它的解读与应用方式是需要改变的，以便于今人更好地理解与掌握．在科学快速发展的现状下，对知识的介绍方式已经有了顺应潮流的变化——从曾经的一笔一划的板书，变化为文图并茂的教学课件展示；同样地，对知识的解读与应用方式也应该有与时俱进的变化——将知识与计算机联系起来，通过对计算机的使用，更好地掌握和应用基础知识．

3 对中国数学教材建设的启示

研究表明，学生的数学倾听能力成为影响学生数学学习效果的主要原因，目前大学生在数学倾听方面缺乏倾听动机，这就需要教学者激发学生倾听的动机，提高学生的学习兴趣[10]．如果学习内容与社会脱节，学生又如何能有学习兴趣呢？所以，教材建设应注意到教材的时代性、实用性与联系性．下面以“高等数学”科目为例，一一进行详细阐述．

3.1 与时俱进 加强教材的时代性

教材要适应社会的发展、学科的发展和科技的发展，它的内容应该具有时代特征，要体现出科学发展对其的影响，要有对学科前沿的介绍和联系．有学者提出，当前中国大学的现代数学教育存在几个误区，第一个就是“大学数学专业开设的现代数学课程课时太少，非数学专业的数学课程几乎与现代数学不沾边”[11]．放眼看去，各种版本的非数学专业的数学课程教材——高等数学、线性代数、概率统计等，大部分内容都是沿袭了经典教材，鲜有改变．其实，社会每天都在发生变化，尤其是计算机的发明，使得社会发生了飞速的变化，也相应推动了数学的发展．可是在经典数学教材中却没有因此产生任何变化，这就使得教材缺乏时代性．经典固然是教育工作者应该坚持追随的，但同时也应该有与时俱进的完善．以导数为例，由瞬时速度引出以比值的极限形式给出的导数概念，由平面图形的面积经过分割、近似代替、求和、取极限4个步骤得到定积分的定义，这些定义形式已经是数百年的经典，但因其复杂性而颇为诟病．对此，有学者们迎难而上，通过测试和调查，分析学生在学习极限理论、掌握其语言表述和理解逻辑关系时存在的认知障碍[12]；在此基础上，采取感性与理性相结合、理论与实践相结合、传统与现代相结合等“9个结合”的综合方法来破解极限定义教学难题[13]．除了直接面对之外，近几十年的科研发展也给出了其它方式的定义形式可供选择，如张景中院士提出由“瞬时速度有时比平均速度大，有时比平均速度小”出发利用不等式给出的导数与积分定义[14]，林群院士提出由曲线求高出发用等式给出的导数与积分定义[15]，“身体与灵魂”项目中由微分方程求解给出的导数与积分定义等．所以，教材建设者要精选教材内容，增强其与社会进步、科技发展及学生经验的联系，拓展视野，加强教材的时代特征．

3.2 学以致用 增加教材的实用性

教材内容应该具有实用性，要添加指导学习者利用知识的实践，把知识技能的学习与学生创新精神和实践能力的培养有机结合起来．中国目前的教材内容就因为缺乏应用性，导致存在知识无活力化的问题．所谓知识无活力化，就是由传统的灌输式教学模式导致的大学生被动学习且不能将所学的科学文化知识使用于实际以解决实际问题的现象[16]．知识无活力化导致了学生缺乏学以致用的能力．教育在应用中的不协调造成社会中所谓的“高分低能”以及“学习无用论”等现象，相当一部分是缘于高等教育太偏向于理论，与实际脱节严重．美国数学史家、数学家 M·克莱因指出：“数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物．”[17]中国的大学数学教材偏重于介绍经典的灵巧的知识，以定积分计算为例，教材中花大量篇幅介绍定积分的换元积分法、分部积分法以及微分方程的各种求解技巧等．这些知识巧则巧矣，但不是通用的方法，其针对范围不广，不能解决所有的问题．它们更大的作用不是解决问题，而是锻炼学生的思维能力．其实，并非所有学生都会去从事需要很深奥的数学知识的工作，单就直接应用数学的角度而言，不必每个学生都学习很高深的数学理论[18]．所以学生除了要掌握这些经典的知识来修炼思维之外，更需要学习通用的方法来解决问题．而这通用的方法恰恰是计算机能够完成的．任给一个方程，都可以利用算法，得到一定误差范围内的近似解．所以，如果能分一部分篇幅来介绍矩形法、梯形法等数值积分法，将有助于学生的实际应用．再如微分方程知识点，与其长篇大论地介绍几种特殊简单方程——齐次方程、可降阶的高阶微分方程等，不若分一部分来介绍通用的牛顿迭代法等数值求解法，同时介绍如何使用Maple软件来完成求解．因此，如果能够在教材中减弱对计算机巧的比重增加对算法应用的部分，将有助于学生更好地掌握与应用知识．学生们只要学习了算法，就可以利用计算机，轻松获得近似解．原有的经典的方法由于其复杂性，有的学生还没有毕业就已经忘记了；而这样的普适方法因其简单易学的可操作性，学生们工作时也会方便地用到．正如夸美纽斯在《大教学论》中强调的那样：教给学生的知识必须实用，不要教给学生一些对他们的生活和学习的发展毫无用处的东西，这样既让他们对所学科目感到厌烦，同时又浪费了他们宝贵的时间．所以，教材建设者要高屋建瓴地将数学知识与生活、科学技术紧密结合，增加教材的实用性．

3.3 触类旁通 增强学科间的渗透

数学与其它自然学科一样，是一门变动的不断发展的科学．由于各门学科之间都存在千丝万缕的联系，当其它学科发生了巨大的变化时，数学也应该随之进行完善．钱学森先生指出，应该打通各行、各业、各学科的界限，大学都敞开思路相互交流、相互促进，整个知识体系各学科技术部门之间都是相互渗透、相互促进的，人的创造性成果往往出现在这些交叉点上．目前，计算机技术发展迅猛，而计算机技术在数学教育中也体现出越来越积极的参与性．可是目前其主要的参与都体现在课堂教学的技术手段当中，比如多媒体教学的使用以及数学软件的探究[19]．而在数学教学内容中，则鲜有体现．正如“身体与灵魂”项目所呈现的，如果将计算机作为一个合适的内容渗透到数学当中去，它将有利于学生对知识的掌控、实验与实践．除此之外，音乐、美术、文学等都与数学有着不可分割的联系，都可以在适当的教学环节进行渗透．加强学科间的渗透，将有利于学生的发散思维与实践能力，促进其全面发展．对哪些学科进行渗透，这需要分类考虑．“高等数学”科目覆盖面非常广，无论是理工科还是文科都是要学习的，那么对于不同类型的学生，其学习的内容就应该有相应的区别．对文科而言，教材内容中应该多渗透文学与美学，如数学史的合理渗透[20]；对经济类而言，教材内容应该多渗透计算科学与经济学；对工科而言，教材内容应该多渗透基础力学与计算科学．以定积分知识点为例，对文科生教学时，要多分析定积分定义中体现出的哲学思想——整体与局部、总量与部分量、变与不变、近似与精确、量变与质变等矛盾对立统一辩证法则，要多介绍与微积分基本公式相关的历史——牛顿与莱布尼兹发现微积分思想的过程，以及由此造成的两个民族之间的争夺最后带来的损失与反思；对经济类学生教学时，要重点放在定积分在经济学中的应用上——资本现值和投资问题、消费者剩余与生产者剩余、社会收入分配的平均程度等问题；对于工科生，除了要把握定积分的各种计算方法——换元积分法、分部积分法、有理函数积分法等，更要积极使用计算机软件，让学生掌握如何用Maple等软件进行定积分计算．所以，学科建设者应该增设适应时代需要的新的课程领域或课程门类，构建重基础、多样化、有层次、综合性的课程结构，最大限度地发挥课程的发展功能[21～26]．

综而述之，“身体与灵魂”项目的独特视角与思想给教育工作者带来相应的启示：教学内容要与时俱进，不断进行完善和更新——加强其时代性，增加其实用性，增强学科间的渗透性，让学科知识不再是孤立的、封闭的、静态的体系， 而是联系的、开放的、动态的系统．

[1]洪港．中国近代大学教材建设述论[J]．现代大学教育，2010，（3）：81-85．

[2]庄瓦金．三十年来中国《高等代数》教材（教学）之管见[J]．数学教育学报，2009，18（3）：91-95．

[3]曹广福，叶瑞芬．地方高校分析类数学课程教学内容及体系的改革与实践[J]．数学教育学报，2011，20（2）：53-56．

[4]云连英．面向专业需求的高职数学课程设置研究[J]．数学教育学报，2008，17（4）：73-76．

[5]李红玲．现有大学文科数学教材中存在不足的思考[J]．数学教育学报，2012，21（1）：92-94．

[6]Johan Hoffman, Claes Johnson, Anolers Lagg. Dreams of Calculus: Perspectives on Mathematics Education [M].Springer-Verlag, New York, LLC, 2004.

[7]Johan Jansson, Claes Johnson. Body and Soul Mathematical Simulation Technology Draft [EB/OL]. http://www. body soulmath.org/books/

[8]张翼星．敢于突破、切中时弊的探索——钱学森“大成智慧”教育设想刍议[J]．现代大学教育，2010，（3）：1-4．

[9]王幼军．数学中的游戏因素及其对于数学的影响[J]．自然辩证法通讯，2002，（2）：12-17．

[10]刘敏捷．大学生数学倾听能力的缺失及其提高对策[J]．数学教育学报，2012，21（2）：95-98．

[11]匡继昌．现代数学的哲学思考[J]．数学教育学报，2005，14（2）：29-32．

[12]李莉，谢琳．关于学习极限概念认知障碍的研究与分析[J]．数学教育学报，2006，15（1）：42-44．

[13]高兴佑，向长福．如何破解极限定义教学难题[J]．数学教育学报，2011，20（5）：96-99．

[14]张景中．直来直去的微积分[M]．北京：科学出版社，2010．

[15]林群．微积分减肥快跑[M]．北京：科学普及出版社，2011．

[16]卢先明，彭柏林．传统“智”德观与现代高效德育[J]．现代大学教育，2010，（3）：86-88．

[17]M·克莱因．西方文化中的数学[M]．张祖贵译．上海：复旦大学出版社，2004．

[18]俞求是．试论数学的科学性及其特点与数学教学[J]．数学教育学报，2008，17（5）：13-18．

[19]袁立新．关于高职院校微积分教学软件的若干思考[J]．数学教育学报，2011，20（2）：65-68．

[20]朱哲，宋乃庆．数学史融入数学课程[J]．数学教育学报，2008，17（4）：11-14．

[21]朱凤琴，徐伯华．数学史融入数学教学模式的国际研究与启示[J]．数学教育学报，2010，19（3）：22-24．

[22]宋运明．论数学问题提出和数学活动经验的关系[J]．数学教育学报，2010，19（6）：34-35．

[23]张晓贵．对高师数学师范生信念改变的思考[J]．数学教育学报，2010，19（2）：15-18．

[24]章飞．数学概念的分类及度量性概念的教学思考[J]．数学教育学报，2010，19（5）：40-42．

[25]王成满，沈南山，王郢．60年来我国中学数学教科书编写形式的变化与思考[J]．数学教育学报，2010，19（5）：25-27．

[26]蔡文俊．数学文化视野下的数学交流研究——基于数学家交流的分析[J]．数学教育学报，2010，19（6）：17-19．