具有阶段结构自食捕食系统的持久性与稳定性

张 雷 （无锡工艺职业技术学院基础部，江苏 宜兴214206）

具有阶段结构种群动力学模型始终是人们研究的热点问题之一［1－3］，而自食对种群的结构和动力学行为有着重要的影响［4－5］。为此，笔者讨论如下具有阶段结构自食捕食系统：

其中，x（t）表示食饵种群密度；y1（t），y2（t）分别表示t时刻幼年、成年捕食者的种群密度；a1（t）表示食饵种群的内禀增长率；a2（t），a3（t）分别表示幼年和成年捕食者的死亡率；bi（t）（i＝1，2，3）分别表示种群密度制约因素；β1（t）表示成年捕食者的生育率；β2（t）表示捕食者幼年到成年的转化率。

1 系统持久性分析

引理1 R3＋为系统 （1）的正不变集。

定理1 若不等式：

证明 设z（t）＝ （x（t），y1（t），y2（t））为系统 （1）的任意正解，由系统 （1）的第1个方程得：

定义U（t）＝ max｛y1（t），y2（t）｝，沿着系统 （1）的正解计算U（t）的右上导数有：

（1）如果y1（t）≥y2（t），则有：

（2）如果y1（t）＜y2（t），则有：

由系统 （1）的第1个方程得：

定义W（t）＝ min｛y1（t），y2（t）｝，沿着系统 （1）的正解计算W（t）的右下导数有：

（1）如果y1（t）≤y2（t），则当t＞T5时：

（2）如果y1（t）＞y2（t），则当t＞T5时：

故当t＞T8时有由此可知系统 （1）是一致持久的。

2 系统稳定性分析

定义下列函数：

定理2 如果定理1的条件成立，且下列条件满足：

则系统 （1）是全局稳定的。

沿着系统 （1）的正解计算V（t）的右上导数，得：

两边同时在区间［T，t］上积分得：

［1］Bence R J，Nisbet R M．Space－limited recruitment in open systems：the importance of time delays ［J］．Ecology，1989，70：1434－1441．

［2］张树文，谭德君，刘兵 ．捕食者与食饵均具有阶段结构捕食系统的研究 ［J］．生物数学学报，2001，16（2）：162－168．

［3］江志超，曹建涛，程广涛，等 ．具有阶段结构的多时滞SIR模型的稳定性分析 ［J］．数学年刊，2011，32A （1）：97－106．

［4］肖燕妮，陈兰荪 ．具有阶段结构的竞争系统中的自食的稳定性作用 ［J］．数学物理学报，2002，22（2）：210－216．

［5］戴勇，邢铁军，雒志学，等 ．具有3个年龄阶段的自食单种群时滞模型的周期解 ［J］．数学的实践与认识，2011，41（8）：85－91．

［6］Barbalat I．Systems d’equations differential d’oscillations nonlinearies ［J］．Rev Roumaine Math Pures Appl，1959，4 （2）：267－270．