基于计算机代数系统的高斯公式分析

赵 炅， 桑 渤， 黄忠红

(中国人民解放军 72946部队， 山东 淄博 255000)

在涉及地球椭球面和平面间的投影问题中，高斯-克吕格投影得到了广泛的应用，它是德国数学家、物理学家、大地测量学家高斯于19世纪20年代提出，后经大地测量学家克吕格于1912年完善产生的[1].为了让公式付诸实际运用，世界上许多测量学家都进行了一系列的研究，德国学者巴乌盖尔，保加利亚测量学者赫里斯托夫……，他们在理论和实践上都丰富和发展了高斯—克吕格投影，并提出了实用的公式[2].

但是现代测绘学科对公式精度的要求使得已有的公式已不能满足更高的计算需求，而且在作业过程中，特别是涉及数学基础层的坐标转换工作中，由于公式精度的问题，使得前期的数学精度相对偏低，影响了后期的整体制图精度.因此，如何提供更高精度的公式是一个重要的问题.利用赫里斯托夫法、待定系数法等方法进行公式推导，在解算时涉及复杂的数学运算，在没有电子计算机的情况下处理这些问题是非常繁琐的，而且基于手工推导的公式形式比较复杂，记忆也不方便.随着计算机技术的发展，借助日趋成熟的数学处理软件，我们可以快捷地对这些领域中的复杂问题进行处理，使推导的结果更准确[3].由于诸如VC等编程方法难以有效地进行公式推演，因此本文借助计算机代数系统Mathematica对高斯公式进行进一步的推导，并进行精度分析，以期得到更高精度的正反算公式[4].

1 高斯投影条件

高斯-克吕格投影又称为等角横切椭圆柱投影，是地球椭球面到平面上正形投影的一种[5].在高斯投影中，要求投影时满足3个条件：

(1)正形条件.

(2)中央子午线投影为一直线.

(3)中央子午线投影后长度不变.

以上3个条件中，第1个条件是指主方向的长度比a=b，或者mL=mB，即满足柯西黎曼微分方程.

对正算，有

(1)

对反算，有

(2)

2 高斯投影正算

正算就是椭球面元素到平面元素的投影计算，即由椭球面大地坐标(L，B)计算高斯平面直角坐标(x，y)的过程，已知椭球面到平面投影方程的一般形式是

(3)

根据高斯投影的3个条件，确定投影函数f1和f2的具体形式，进而得到高斯正算公式.

在椭球面上，已知P点的大地坐标为(L，B)，相应的等量坐标为(l，q)，高斯投影是在沿中央子午线东西各一定精度范围内的狭窄地带进行的，在每一个投影区域内，对中央子午线的经差l是不大的，一般在0°～3.5°范围内，其弧度值l/ρ为一微小量，所以可将上式中的函数展开成经差l的幂级数，即

x=m0+m1l+m2l2+m3l3+m4l4+…

(4)

y=n0+n1l+n2l2+n3l3+n4l4+…

(5)

式中：m0，m1，m2…，n1，n2…等为待定系数，它们是等量纬度q的函数.根据高斯投影的第1个条件，对上式求偏导得

(6)

根据正形投影条件，即柯西黎曼微分方程

(7)

得到

(8)

对n0，根据投影的第2个条件，中央子午线投影后为纵坐标轴，得到

l=0→y=0→n0=0→m1=

n2=m3=n4=…=0

(9)

(4)式和(5)式就化简为

x=m0+m2l2+m4l4+…

(10)

y=n1l+n3l3+…

(11)

对m0，根据第3个投影条件，即中央子午线投影前后长度不变，可知中央子午线上的点投影后的纵坐标x等于投影前从赤道到该点的子午线弧长X，即l=0时，有

x=m0=X

(12)

根据(8)式，我们利用计算机代数系统Mathematica推导，这里我们将系数限定到第8项，即系数项m8，得到

3 高斯投影反算公式

高斯投影反算，就是由高斯平面坐标求大地坐标的公式，即由高斯平面直角坐标(x，y)计算椭球面大地坐标(L，B)的过程，这时，投影方程是

(14)

根据高斯投影的第2个条件，得到级数式子为

(15)

对(15)式求偏导得

(16)

根据正形投影条件，得

(17)

由于同次幂的系数相等，因而有

(18)

(19)

这里，我们不再将等量纬度转化为大地纬度，因为在进行精度分析时，他们的精度都是一致的.

4 精度分析

4.1 理论分析

(1)正算的精度

(2)反算的精度

4.2 算例分析

为验证公式和理论分析的正确性，分别用一般公式和本文精密公式，计算同组数据，通过结果比较验证本文公式的正确性及精度.P点地理坐标为L=118°32′47.268347″，B=35°49′22.836725″.

说明：L0=117°，西安椭球长轴6378140.028m，扁率1/298.257，y加常数为500km.

我们分别用一般公式和精密公式对该点进行正解和反解计算，正解的计算结果见表1.由表1中高斯坐标反算得到的经纬度见表2.

由表2中试验结果可知，采用精密公式试验经纬度精度优于10-6″，明显高于一般试验结果.

5 结束语

本文利用计算机代数系统Mathematica对高斯正反算进行进一步的推导，导出了更高精度的公式，其中，正算公式的精度的为10-5m，反算精度为10-6″.此公式在实际工作中能在一定程度上提高坐标转换的精度，为制图前期的数学基础层的准备工作尤其是坐标转换带来一定的便利.另外此工具有效地解决了诸如VC等程序设计中难以进行公式推导以及公式演化的问题.因此，利用数学软件处理作业工作中此类问题的方法值得推广.

[1]吕志平，张建军.大地测量学基础[M]. 北京:解放军出版社， 2005.

[2]熊介.椭球大地测量学[M]. 北京:解放军出版社，1988.

[3]刘大海.高斯投影复变换与Maple计算机代数系统的实现方法[J]. 测绘科学, 2011, 36(3):136-138.

[4]边少峰，许江宁.计算机代数系统与大地测量数学分析[M]. 北京:国防工业出版社，2004.

[5]何有生.高斯投影误差的研究[J]. 硅谷, 2012(16):73-74.