概率论课程的启发式教学法探讨

程 培

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601）

概率论是一门研究随机现象的数量规律的数学学科，其研究方法独特，研究内容实际，应用广泛，是我国高等院校本科教育中的三大基础数学课程之一.然而，在概率论教与学的过程中，教师普遍反映概率论难讲，学生普遍抱怨概率论难学.究其原因，主要有以下三个方面：一是概率论不同于数学分析和高等代数等研究确定性现象的纯粹的数学学科，概率论的学习要求学生从确定性思维转变到随机性思维，学生普遍感到不适应.二是因为概率论与测度论联系紧密，目前我国概率论教材为了强调数学结构上的严谨性和体系性，使得知识抽象化和理论化，缺少通俗性和趣味性，学生学起来觉得晦涩难懂.三是教学课时少而内容多，教师普遍采用填灌式的讲授方式而忽视了学生主体作用，无法调动学生的学习积极性，导致学生求知兴趣下降、学习动力不足.因此，在课堂上以学生为中心，适当、适时地采用合理的启发式教学，通过创设问题环境和联系实际社会现象等方法，使系统化和理论化的概率知识变得生动活泼起来，从而调动学生的学习热情和兴趣，是这门课程教学能取得好效果的关键所在.

启发式教学，是指在教学过程中，以学生为中心，教师根据教学目的、内容、学生的知识水平及掌握知识的规律，采取启发引导办法传授知识、培养能力，使学生更加积极主动地学习，以促进身心更好地发展.启发式教学法不是具体的教学方法，而是一种教学原则，是教学思想和教学观，它以激发学生的积极性和主动性思维、唤起学生求知的欲望和兴趣为着眼点,科学地引导学生开动脑筋，积极思考，主动发现和探索，发展智力，挖掘潜力.启发式教学要求教师按照辩证唯物主义认识论和方法论组织课堂教学，在整过教学过程中，教师运用深刻的积极的思维活动，通过一定的引导和启迪方式，引起学生的共鸣，使学生经过积极思维后不仅接受了新知识，而且培养了学生运用已有知识进行独立思考，获得探索新知识、新技能的能力，进而提高分析问题和解决问题的能力[1].在《概率论基础》课程的教学实践中，笔者采取了一些办法实施启发式教学，取得了较为满意的教学效果.下面谈谈笔者的做法和体会.

1 建立学习动机，激发学习兴趣

兴趣是最好的老师，是学生爱学乐学的基本情感，是学生面对新知识的一种积极态度，是探索求知的内在动力.学生有了兴趣，就能积极地、主动地、创造性地学习.因此，能使学生在愉悦的气氛中学习，唤起学生强烈的求知欲望和兴趣是教学成功的关键.在概率论的课堂教学中，可以通过下面的方法来调动学生的学习积极性.

1.1 上好第一堂课

良好的开始是成功的一半，而第一堂课就是一门课程的开始,是序曲，是了解这门课程的窗口.教师如果将这个序曲演绎得精彩了,那么学生通过这个窗口,就会对这门课程感到极大兴趣并且认识到它的重要性.因此,讲好第一堂课是激发学生学习兴趣的重要机会.

首先,老师要以生动的语言、浅显的事例介绍课程的特点和研究对象.概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支.可以在课堂上提问“什么是随机现象”，笔者先引导学生从字面上来理解.所谓“随机现象”自然应是不确定的现象，并举出几个实际生活中的例子，如掷一枚硬币可能出现正面也可能出现反面，抽查班上学生的生日可能出现在哪天等.然后让学生想想生活或学习中遇到的有哪些现象是随机的，并引导学生发现现实生活中随机现象随处可见，因此研究随机现象非常重要.紧接着提出贝特朗悖论让同学发现随机现象里面有“怪现象”，给同学们制造一个“悬念”，并告诉同学们我们在后面的讲解中会从严格的概率论角度解释这个怪现象.最后通过著名的“蒲丰投针试验”和“高尔顿板模型”解释一下随机现象的“数量规律”，从而导出频率稳定性，并让学生自己课下做“英文字母使用频率”的试验.这样同学们既对这门课程产生了强烈的好奇心，同时也对课程有一个基本了解.

其次，用辩证的观点和历史唯物主义的观点介绍概率论的产生、发展及其在现代科学技术和社会生产实践中的广泛应用.一般来说，一门学科的产生和发展是离不开生产和社会实践活动的，概率论也不例外.概率论起源于中世纪生活中的一个博弈问题，1651年法国贵族德·梅尔向法国数学家帕斯卡提出了有趣的分赌注问题，帕斯卡苦苦思索了三年，到1654年终于有了眉目，于是和费马通信讨论，后来惠更斯也加入研究，在这些研究中建立了概率论的一些基本概念.其后，伯努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯和泊松等数学家在对伯努利概型的深入研究中发现了大数定律和中心极限定理.这些发展与概率论在射击、保险、测量等领域的应用密切相关.经过早期的辉煌后，概率论的发展有些停滞，在18世纪到19世纪整整200年中，极限定理的研究是概率论研究的中心课题，虽然内容和形式都有发展，但没有得到较好的解决，概率论严格的数学基础一直也没有建立.直到20世纪，概率论又开始复兴和大发展，俄国数学家柯尔莫哥洛夫建立了概率论的公理化体系，古典概率问题得到解决和深化，概率论一跃称为数学的主要分支之一[2].概率论的发展过程说明任何一门学科的发展都不是一蹴而就的，都要经过漫长曲折的过程，是众多科学家前赴后继不断努力的结果.这里面体现了学科间的普遍联系，是学科间互相交融、互相作用的结果.概率论决不是某一单一学科的孤立发展，其随机性的概率思想甚至渗入各个学科成了近代科学发展的明显特征之一.近几十年来，概率论结合各个工程技术和社会学科，形成了如数理金融、信息论、排队论、可靠性理论等大量边缘学科.

在概率论的近代发展史中其应用占有独特的地位,极大地推动了相关学科的发展.几乎在所有的自然科学和社会科学领域中都找到了它的用武之地.诸如在数值分析、图论、微分方程、时间序列分析、最优化原理、近代物理、无线电与自动控制、网络通信、质量管理、生物工程、医药和农业试验、金融保险业等学科领域都有其独到的应用.通过介绍这些应用就解决了学生们为什么学的问题.笔者在课堂上还指出,即便如此,概率论在很多应用方面还是有局限，同其他学科一样，它不是万能的，它也有其自身的局限性,它仍然需要发展，事实上它目前也的确还在不断地发展中.并指出,我们在座的同学也有可能为其发展做出贡献.

1.2 穿插历史著名问题和试验，增添学习乐趣,培养创新精神

概率论中有很多的著名问题和试验，教师在教学过程中可以适当地加以应用.如在教学过程中，教师多采用历史上的著名问题，让学生自己动手解决，让学生体会到数学家的思维过程，这种再创造、再发现式的教学方式有助于提高学生的学习兴趣，启发学生的思维.比如在讲古典概率模型时，教师可以风趣地把著名的“德?梅尔问题”“分赌注问题”[3]等介绍给学生，并作为思考题让学生课后自己去找出正确的答案，以激发学生的学习兴趣和探究欲望，培养学生独立分析问题和解决问题的能力.经过一段时间后，教师再把答案告诉学生，让学生感受到问题解决的快乐.在教学过程中，遇到著名的试验，试验条件要求不高的，可以让学生课后自己动手做一做，如前面提到的生日调查试验、掷硬币试验、蒲丰投针试验、英文字母使用频率试验.这样既增添了学习的乐趣，也锻炼了学生的动手能力.

1.3 教学紧密联系学生的专业

学生学习最怕的是学了没用，让学生感觉到所学知识非常有用，是激发其学习动机的关键.根据概率论在众多基础学科和应用学科中的广泛应用，教师在讲授时完全可以紧密联系学生的专业有针对性地做些介绍.如在讲贝叶斯公式时，若面对的是电信学院的学生，就可以举一些在信号估计和模式识别方面的应用；若面对的是经济学院的学生，就可以举一些在市场预测中的应用.这样可以激发学生在学习中去研究、去探索，使所学理论内容展现它的活力.

2 创设问题情景、调动学习主动性

“思维自疑问和惊奇开始”，讲授法要富有启发性，离不开“问”.巧妙地创设问题情景，引导学生强烈的求知欲望，是开展启发式教学的重要方法，是提高教学效果的重要一步.

2.1 提出适当问题并围绕问题进行分析

并不是所有问题都能够成问题情景，教师在备课时应该精心准备如何根据不同的知识点提出适当的问题，如何围绕着这些问题进行分析，最终得到所要的结论.如笔者在讲授全概率公式课前，提问“有五张票，其中只有一张是真正的电影票，五个同学先后各抽取一张，后抽的同学吃亏些吗？”.有的同学说“后抽的吃亏”，有的说“先抽后抽都要一样”.笔者紧接着问“为什么？”，这下学生普遍回答不出来原因，于是带着疑问进入了新知识的学习，教师讲授完新知识后顺利地引导学生解决了课前提出的问题.整个课堂上，学生思维都很活跃，对所学的知识也觉得容易理解并且印象深刻.再如，讲完博雷尔强大数定律后，笔者向学生提问“这个定律能否推广一下，即定理中的条件能否更一般些？”，让学生思考片刻后，引出后面的柯尔莫哥洛夫强大数定律，并让学生自己发现两个定律的不同.

2.2 采用启发式的语言

课堂上，采用如下一些启发式语言,如在定理的证明过程中可以问“下一步该怎么办?”；在证明完几个相似的定理后可以问“他们之间有何联系？”；预先给出一个结论或一步证明过程让同学们判断其正确性并问“你认为是对的吗”；给出几个例子研究它的性质并推广到一般的情况时,可以问“从这里你能得出怎样的结论?”.在每一个问题之后要适当沉默,给同学们留有一定的思考时间,并给出适当分析和启发,促使学生思维的深入.在每次课后,精心设计一些与下一次讲课内容有关的问题,让学生们回去思考.这样做,在课堂上有利于活跃思维,打破课堂沉闷气氛,引发争论,使学生在讨论中接受新知识，同时也可以引起一些学生对某些重点问题的注意力.在课后又可以促使学生们进一步巩固已学知识,并预习新知识.

3 加强概率知识的现学现用、培养解决实际问题的能力

概率论是所有数学学科中与现实生活联系得最为紧密的一门学科，因而，教师可以充分挖掘生活资源引导学生适时适当地利用相应的概率知识去解释和分析周围熟悉的社会现象及实际问题，让学生体会到学习概率论的乐趣，增强学生的学习动力，提高学生学习概率论的主动性和自觉性.其实，从各大商场的促销活动，随处可见的彩票销售中心，马路上的车来车往，到街头小摊设奖的骗局，班上同学的生日和身高，自己接到的一个保险电话，父母的一次投资，甚至是我们经常说的一句谚语，都可以作为例子在课堂上讲.如教师在讲授贝叶斯公式时，可以就同学们熟悉的狼来了的故事建立数学模型并分析为什么大人们对说谎小孩的话越来越不信任.在讲完随机变量的数学期望后，可以举出生活中街头小摊设奖的骗局例子以及最优库存的问题让学生进行分析.再如，在讲到小概率事件时，教师可以介绍概率论历史上有名的生日问题[2]，班上任选的23个人中出现两人生日相同的概率为0.507%，超过了50%.如果人数达到60人，生日相同的概率会达到99%以上，几乎是必然事件.这看似违背了人们的常识，但实际上人们常说的谚语“常在河边走，哪有不湿鞋”早已道出了这个原理.再拓展一下，还可以介绍这个原理在生活中的应用：任意一辆汽车行驶在马路上都是有可能发生车祸的，但人们并没有因此不敢开车出门，因为这个可能性很小，是一个小概率事件，然而，全中国却没有一天没有车祸发生，这又是为什么呢？就此，教师再从理论上给学生证明和解释小概率事件的累积效应[4].这样，在教学过程中从实际生活中的素材入手，既使得学生对知识的理解更加深刻，同时也培养了学生利用所学知识解决分析实际问题的能力.

总之，笔者在概率论的教学实践中尝试了很多种办法进行启发式教学,取得了较为满意的教学效果.实施启发式教学没有也不可能有一成不变的模式，通过进一步的摸索和实践，一定还能取得更大的进步.

〔1〕王章豹,孙显元,李钢.高等学校教师教学科研方法 （第二版）[M].合肥：合肥工业大学出版社,2009.

〔2〕李贤平.概率论基础(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2011.

〔3〕李贤平.概率论基础学习指导用书[M].北京：高等教育出版社,2011.

〔4〕陈忠维,惠淑荣,郑钰.高等学校概率论教学改革的探索与实践[J].沈阳农业大学学报（社会科学版）,2011,13(3):331-334.