矢量管法证明电磁场中高斯定理

张建军

（石河子大学物理系，新疆 石河子 832000）

电磁场中高斯定理的证明方法已经有不少文章作过讨论，这些方法各有优缺点，大体上可分为两种，一是逻辑严密且数学应用较多，但不够直观，对数学基础不够的学生理解起来比较困难［2，3］，二是有些方法深入浅出，容易被学生接受但缺乏逻辑的严密性［4，5］.现在通常用的工、农、医、药学类专业的大学物理教材中对电场中的高斯定理和磁场中的高斯定理的处理方法一般不相同，对电场中的高斯定理给出了详细的证明方法，而磁场的高斯定理基本上是一句话带过：“对于高斯曲面每条磁感应线穿入一次穿出一次所以总通量的贡献为零”，实际上是没有证明，只是给出个结果，这样的方法很难使学生信服.随着中学物理和大学物理教学改革的深入，很多高校的大学物理教学学时不断被压缩，入校学生的基础知识差别也比较大，如何在有限的时间内给出一种简单直观、容易理解的证明方法就成了工、农、医、药学类专业在电磁学高斯定理教学中的一个问题.实际上，大学物理课程进行到电磁学部分时，学生已经学过流体力学部分的内容，将流体力学中的连续性原理迁移到磁场中来证明高斯定理在教学实践中具有很好的操作性.具体教学实践中参考以下过程.

1 流体力学中的连续性原理

在同一流管中，对于定常流动：

其中，v为流速，S 为对应的面积，两边求导写为微分形式，有

推广一下，见图1，当速度与面元方向不一致时可进一步写为

接下来引入矢量管的概念，说明定常流动（有的教材也称为稳定流动）的流速场与恒电磁场的共性：

（1）两者都是矢量场，都可以用场线来描述其大小和方向.

（2）流速场和静电场、恒磁场都只是空间的函数与时间无关.因此在磁场中可以引入磁场矢量管，因而也有

（3）引入矢量管的模型：并证明在数学意义上流体矢量管和磁感应强度矢量管是完全相同的.

图1 矢量管模型

2 证明磁场中的高斯定理

如图2所示，由于磁感应线是闭合的，因此磁感应管也一定是闭合的，对于任意一微小磁场管L，在其与高斯面相交时必然截下两个小面元，有：B1·dS1＝B2·dS2，对于高斯曲面，面元方向约定为指向由内向外为正，从图2上容易看出磁感应管穿出为正，穿入为负，因此整个磁感应管对高斯曲面的通量贡献必然为零，有

磁场中的高斯定理得证.

图2 磁场中的高斯定理证明

3 证明通过任意曲面的电通量和通过球面的相等

首先利用常规方法证明一个点电荷处在球心上时对整个球面的电通量只与该电荷的电量有关［1］.如图3所示，以正电荷q 为顶点向四周发出电场线形成电场管，引导学生发现图3中的矢量管，在静电场中，电场强度大小方向只与空间有关与时间无关的特点与稳定流动的流速场分布类似，由图3 可知，对任意一簇电场线构成的矢量管，在球面和任意曲面的通量大小总是相同的，当面元取遍球面时，包围球面的任意曲面也取完，因此通过球面的电通量与通过任意面的必然相等.

若电荷处在曲面外，见图3，通过面元1与面元2的通量大小相等，但正负相反，因此正好抵消.

图3 球面和任意曲面

对于高斯曲面有折叠的特殊情况用图4（a）来证明.在图4 中很容易看出，如果高斯曲面有折叠，场矢量管穿入和穿出的次数是成对出现的，穿出为正，穿入为负，大小相等，相互抵消，并不影响上述3节中的结论.用图4（b）证明当电荷处在高斯曲面外时，对高斯曲面的通量也是成对出现，一正一负相互抵消.

图4 闭合曲面有折叠情况

至此，电场的高斯定理的内容已经完全得到证明.

4 结语

电场线和磁场线本来就是法拉第受到流体力学中流线的启发而引入的，本文将流量矢量管和连续性原理一并“迁移”过来，应用于教学实践，使证明本身直观而易于理解，又不失严密性，对于大学一年级学生来说，特别是数学准备知识不够的部分专业，避免了介绍立体角的概念.本文提供的思路特别在证明磁场的高斯定理时说服力明显增强，并且使电场和磁场中的高斯定理从证明方法上统一起来，适合于大学非物理专业普通物理课程的教学.有利于引导学生归纳总结的学习方法，并启发学生对所学的其他知识点也进行类似的思考，更重要的是这种知识迁移的思想，能够启发学生去发现不同知识体系之间相互关系.这一点比知识本身更有意义.

［1］舒辰慧.物理学［M］.北京：人民卫生出版社，2005.1（4），121－123.

［2］雷桂林，郑伟强.再谈稳恒磁场的高斯定理的证明［J］.甘肃教育学院学报：自然科学版，1999，13（4），77－78.

［3］陈钺铖.关于高斯定理证明的教学探讨［J］.湖南理工学院学报：自然科学版，2004，17（1），29－31.

［4］郭慧城.高斯定理的另一种证明［J］.吉林师范大学学报：自然科学版，2006，02，103.

［5］郭文立.静电场高斯定理的证明与证明中存在的一个问题［J］.濮阳教育学院学报，2001，14（4），43.

［6］王旭.稳恒磁场高斯定理的一个证明［J］.大学物理，1982，（01）：16－17.