用高斯定理推导共线电荷系的电场线方程

姚晓玲 谭德宏 朱 霞 陈俊斌

（后勤工程学院基础部，重庆 401311）

电场线是形象描述电场分布的系列曲线.电场线的形状可以通过实验显示，也可以通过模拟实验画出，还可以采用计算机编程的方法绘制如文献［1］，当然更精确的描述是先求出场线方程，再根据场线方程绘制电场线图，文献［2～4］介绍了一种用高斯定理推导共线电荷系电场线方程的方法，但是过程较简略，文献［2，3］只以高斯面内无电荷的情况得出电场线公式，文献［4］没有说明高斯面的选择，本文将共线电荷系电场线方程的推导过程补充完善，并对几种典型的共线系的电场线用Mathematica软件进行了绘制.

1 电场线方程的推导

取电荷分布的直线为x 轴，设电荷qi的位置坐标为xi，由于电荷只沿x 轴分布，所以电场关于x 轴旋转对称.在xOy 平面上取一条电场线L，在曲线L 上取点P，过P 点作到x 轴的垂线1，在曲线L 上另取点P′，过P′点作到x 轴的垂线2，如图1所示，将曲线L 与垂线1和垂线2围成的部分绕x 轴旋转，形成一个对称的封闭曲面，取为高斯面，如图1 所示.曲线L 的旋转曲面为电场线管，没有电通量通过，垂线1旋转成圆平面P，垂线2旋转成圆平面P′，取高斯面的外法线方向为正.圆平面P 与圆平面P′的正方向相反.

图1 电场线管及高斯面

设电荷qi与P 点的连线与x 轴所夹的角度为θi；电荷qi与P′点的连线与x 轴所夹的角度为θ′i.

图2 电荷与平面的位置关系

以下以两个电荷为例，推导电场线方程，设两个电荷的电荷量分别为q1、q2，位于坐标x 轴上的位置坐标分别为x1和x2.

（1）高斯面内不包含电荷

当x＞x2，x′＞x，如图3所示，高斯面内不含电荷，由高斯定理有

图3 电荷与高斯面的位置关系1

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

x＜x1，x′＜x 时，如图4所示，高斯面内不含电荷，由高斯定理有

图4 电荷与高斯面的位置关系2

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

（2）高斯面内包含一个电荷q

当x1＜x＜x2，x′＞x2，如图5所示，高斯面内含有电荷q2，由高斯定理有

图5 电荷与高斯面的位置关系3

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

当x1＜x＜x2，x′＜x2，如图6所示，高斯面内

图6 电荷与高斯面的位置关系4

含有电荷q1，由高斯定理有

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

（3）高斯面内包含两个电荷q1，q2

当x＜x1，x′＞x2，如图7所示，高斯面内含有电荷q1，q2由高斯定理有

图7 电荷与高斯面的位置关系5

整理得到

q1cosθ1＋q2cosθ2＝q1cosθ′1＋q2cosθ′2

所以无论在取的高斯面内有无电荷，最后的表达式是一样的.即

q1cosθ1＋q2cosθ2＝常量C

或者写为

这就是电场线L 上的点满足的方程，即电场线方程.

该式推广到直线分布的分离电荷系有电场线方程：

连续分布的电荷系有电场线方程

2 典型共线电荷系的电场线方程

（1）电偶极子

将电场线方程应用于位于－a 处的电荷－q与位于a 处电荷q 的电偶极子，得到电偶极子的电场线方程

计算机根据此方程绘制出的电场线如图8所示.

图8 电偶极子的电场线

（2）直线电四极子

将电场线方程应用于位于－a 处的电荷－q，位于0处电荷2q，位于a 处电荷－q 的直线电四极子，得到直线电四极子的电场线方程为

计算机根据此方程绘制出的电场线如图9所示.

图9 直线电四极子的电场线

（3）直线分布的带电杆

将电场线方程应用于电荷线密度为λ，长度为a的带电直杆，得到带电直杆的电场线方程为

积分后得到

计算机根据此方程绘制出的电场线如图10所示.

图10 带电直线杆的电场线

［1］李元杰，陆果.大学物理学［M］.北京：高等教育出版社，2003：125－126.

［2］黄莹，王云英.电磁学原理在科学技术中的应用［M］.北京：兵器工业出版社，1998：23－26.

［3］张福恒.两类电荷分布系统的电场线方程［J］.海南师范大学学报，2009，22（1）：35－38.

［4］昊胜杳，张靖仪.共线电荷系的场线方程及场强［J］.广东石油化工高等专科学校学报，1997，7（1）：56－58.