电磁波在有缺陷介质中的传播特性

李 莉 滕宝华 雷 雨

（电子科技大学应用物理系，四川 成都 610054）

1 引言

随着激光技术的发展，激光器逐渐被应用到医学、工业、核研究等很多领域.然而，应用于激光系统中的光学元件在强激光作用下可以在短时间内遭到破坏，致使激光系统无法正常工作.光学元件的损伤一直是限制激光向高能量、高功率方向发展的“瓶颈”［1，2］.

光学元件的激光损伤是由于激光与物质的相互作用导致元件性能或者结构发生了宏观变化.众所周知，所谓激光，它是具有单色性好，能量密度大，亮度高等优良特点的电磁波［3］.激光和光学元件的相互作用包括很多物理过程，比如激光电磁场的传播，热传导过程，力学过程等.然而所有相关物理过程的第一步应该是激光在材料内的传递过程.由此，研究光学元件的激光损伤机理可以从激光电磁场在介质中的传播入手.

麦克斯韦将电磁现象的普遍规律概括为四个方程式构成的方程组——麦克斯韦方程组.原则上求解给定条件的麦克斯韦方程组，就可以得到电磁场的三维时空分布［4］.在大学物理教学过程中，大家对麦克斯韦方程组的认识停留在它可以结合边界、初始条件描述电磁波的时空分布这样一个较为浅表的定性概念的认识上.

本文中，我们以工程上光学元件的激光损伤为切入点，基于麦克斯韦方程组，以熔石英为例，利用时域有限差分法数值计算平面电磁波在表面和亚表面具有缺陷的熔石英中传播时的电场时域分布，研究了电磁波在具有缺陷的材料中的传播特性.并力求利用大学物理的基本知识解释电场受到缺陷调制这一物理现象的物理本质.

通过本工作，可以量化和加深大家对电磁波传播特点的理解，尤其可以认识到在非均匀介质中的电磁波的传播特点.同时本工作也具有强烈的工程应用背景，可为激光约束核聚变研究中如何提高光学元件的负载能力提供理论支持.

2 物理模型

三维情况下麦克斯韦旋度方程［5］为

各向同性线性介质中具有的本构关系为

其中ε 表示介质介电系数，单位为法拉/米（F/m）；μ 表示磁导系数，单位为亨利/米（H/m）；σ表示电导率，单位为西门子/米（S/m）；σm表示导磁率，单位为欧姆/米（Ω/m）.这四个参数称为电磁参数.显然不同的介质具有不同的电磁参数.本工作中我们正是通过不同的电磁参数来区别不同的介质.其中σ和σm分别与介质的电损耗和磁损耗有关.真空中σ＝0，σm＝0，以及ε＝ε0＝8.85×10－12（F/m），μ＝μ0＝4π×10－7（H/m）.

在直角坐标系中，式（1）、（2）展开整理后，各方向分量可写为

以及

采用有限差分法，对以上两个方程组进行离散化.以x 方向为例，有

其中，

根据时域有限差分法，我们将计算区域分为总场区和散射场区，在吸收边界设置吸收边界条件［5］.本文所采取的吸收边界条件为最近几年发展起来的完全匹配层（PML），对入射波有更好的吸收效果［6］.在总场边界处设置入射波.

利用计算机语言将离散后的方程、边界条件和初始条件描述出来.对各参数赋值后即可进行计算.

3 数值计算及分析

在计算过程中，我们采用三倍频入射激光，波长为351nm，其电场幅值为1.0V/m.考虑激光为TM 波（所有对电场的计算结果都是x 方向的分量，即Ex）.计算过程中，网格尺寸为δ＝λ/12＝2.95×10－8（m）.

熔石英表面缺陷多种多样，为简化问题，本文以高斯形缺陷和球形缺陷为例，利用时域有限差分法求解麦克斯韦旋度方程，计算缺陷附近各位置的电磁场的瞬态分布.缺陷内部为真空，其相对介电常数为1.0.

3.1 高斯形缺陷

图2是熔石英亚表面高斯型缺陷的三维形貌示意图，其中最底端坐标为（0，0，0）.缺陷内部为真空.缺陷表面满足的三维数学公式：

其中，xOy 平面与材料表面平行，激光沿z 轴入射.（x0，y0，z0）为修复坑最底端坐标，A，W 为控制高斯旋转体形状的两参数，参数A 控制高斯球体的深度，参数W 控制高斯球体的宽度.其中TM 入射波入射面为xOz，垂直于材料表面，入射角为零.

图1 高斯型缺陷的三维示意图

设高斯型缺陷位于熔石英前表面，取缺陷的控制参数为A＝40δ，w＝30δ.修复坑最底端位置：（70δ，150δ，71δ）.图2所示为x＝49δ的yOz平面的电场强度分布.计算中总场边界取为（120δ，250δ，120δ）.由图可见，熔石英内的电场强度呈对称分布，熔石英玻璃内的电场强度分布表现为受到强烈的调制，显然这是由于高斯形缺陷的存在而导致的.从图中可以看到缺陷附近的电场得到了加强，而在缺陷的正后方形成了一个较宽的激光散射区.分析其原因，这是由于此时缺陷内为真空，其相对介电常数为1.0，小于熔石英的相对介电常数2.25，所以就象在缺陷处设置了一个凹透镜，入射激光受缺陷坑的散射作用，而在与周围入射光重叠的区域进行叠加，当满足干涉的相干相长时，光场强度得到加强，反之减弱从而形成如图所示的电场分布形貌［7］.

图2 x＝70δ的yOz 平面的电场强度分布

3.2 球形缺陷

在材料加工过程不可避免地会产生表面再沉积层中的气泡，金属、氧化物的颗粒.我们以球形气泡为例讨论亚表面缺陷对入射激光电磁场的调制.图3所示为亚表面三维球形缺陷的平面示意图.图4所示是熔石英亚表面气泡对入射光场调制后的分布图.计算中总场边界取为（110δ，240δ，130δ）.气泡半径r＝20δ，其中心位置为（70δ，150δ，31δ）.由于气泡的介电常数是小于熔石英（εr＝2.25）的，气泡在此处的功能也等同于一个凹透镜，入射激光电磁场受气泡作用散射开，并与周围的入射光再次叠加，数据显示，经气泡对光场调制过后，气泡周围的最大电场强度约增强为原来的2倍，而在气泡的后面区域形成了阴影区.

图3 亚表面三维球形缺陷的平面示意图

图4 气泡附近电场强度分布

4 结论

本文基于麦克斯韦方程组的旋度方程，利用三维时域有限差分法，计算电磁波在有缺陷的材料内部传播时电场强度分布，详细讨论了熔石英亚表面和亚表面高斯型和球形两种缺陷对电场强度的调制作用.发现当缺陷内部为真空时，材料内部缺陷附近的电场得到干涉加强，而电场加强点势必成为材料的薄弱点，在这些位置其激光功率密度会急剧上升，成为产生熔融和力学破毁的初始位置，这在工程上是非常危险的.通过本工作，一方面大家对利用麦克斯韦方程组讨论电磁波在材料中的传播有更加深刻认识，另一方面本工作也具有强烈的工程应用背景，可为激光约束核聚变研究中如何提高光学元件的负载能力提供理论支持.

［1］Génin F Y，Kozloski M R，Feit M D.Contamination effects on optical damage.UCRL2ID20130003，1998

［2］孙承伟.激光辐照效应［M］.北京：国防工业出版社，2002

［3］滕宝华，廖旭.大学物理学［M］.北京：科学出版社，2010

［4］梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学［M］.北京：高等教育出版社，1980

［5］葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分法［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2002

［6］Berenger J P.A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves［J］.J Comput Phys，1994，114（2）：185～200

［7］潘笃武，贾玉润，陈善华.光学［M］.上海：复旦大学出版社，1997