浅谈桁架结构的拓扑优化

张晓东

（天津机电职业技术学院，天津 300131）

目前，桁架结构由于其自身的特点，已广泛应用于房屋建筑，桥梁，铁塔，航空航天等不同领域，是结构工程领域研究的重点。

桁架结构设计可分为平面结构和空间结构设计。对于平面桁架结构的设计，从传统的材料力学及弹性力学方法进行研究到后来结合有限元方法的研究，整个研究的理论系统有很大的发展。早期采用传统方法计算桁架结构，是将给定的结构中各个杆件分离开来，然后分别计算各个杆件的节点位移、杆单元轴力，以及杆单元应力、支座反力等，计算过程相对较为繁琐，计算量较大，容易出现误差，而且给定结构一般由有经验的人提供，无法保证其给定的结构是否为最节省材料，重量最小等最优结构。弹性力学理论中位移法分析桁架结构时，是通过采用对节点位移作为基本未知量，进而通过矩阵的形式对各基本参数进行组织、编程，求出未知量的方法。按照位移法的基本原理运用矩阵计算内力和位移的方法，也是结构矩阵分析方法中的一种，其基本未知数是节点位移，由于矩阵位移法较矩阵力法更适宜编制通用的计算程序，因而得到了更为广泛的应用。矩阵位移法的原理接近于后来的有限元方法，有限元方法利用桁架整体刚度矩阵求解节点位移和杆单元应力，这两种计算方式均适合于计算机编程，但是局限性依然是只能针对给定的桁架结构进行分析。

桁架结构优化设计是在满足各种规范或某些特定要求的条件下，使桁架结构的某些性能指标（如重量、造价、刚度或频率等）达到最佳。由于在实际工程实践中，对于某一给定结构，其优化目标实现的方案有很多种，那么就会存在一种或是几种最优的方案，使其达到既能预定目标又能降低成本、重量，或是提高频率等目的。那么如何得到最优解的过程就是所谓优化设计。通常进行优化设计时需给定目标函数，变量及约束条件，然后根据相应的数值计算方法或者依靠现有计算机技术进行建模计算，最终得到最优结构。桁架结构优化设计综合了计算力学、数学规划、计算机科学及结构工程等多方面的理论和知识，是最优化理论和计算机技术在结构设计上的应用。

桁架结构优化根据其设计变量类型和优化层次的不同可大致分为尺寸优化，形状优化和拓扑优化。

第一，尺寸优化主要以截面尺寸为变量，约束条件可以是应力、位移等，由于其优化思路简单易于理解，是结构优化设计领域中最早开展的领域，也是发展相对成熟的领域，通常也会结合形状优化或者拓扑优化进行研究。

第二，形状优化是指在结构优化过程中以结构内外边界形状及其对整体结构的性能影响为变量，以降低工程造价为目的的优化。结构形状优化通常分为杆件类结构优化和连续体结构优化。杆件类结构的形状优化，一般选择节点坐标（位置）作为设计变量，如桁架的形状优化就属于杆件类结构优化。由于单独进行形状优化对结构设计的优化效果有限，通常要同时考虑截面尺寸与结构形状的组合优化。

第三，所谓拓扑优化是用优化的方法研究物体间的连接关系。拓扑优化的难度最大，亦最具挑战性。对于连续体结构，它主要以材料的分布为优化对象，可以在材料分布空间找到最佳的分布方案。而且它具有很多的设计自由度，因此能够获得更大的设计空间。虽然与前两种优化相比难度很大，但却是最近发展前景的一种研究方法。

优化设计主要从设计变量、约束条件和优化算法等角度展开研究和讨论。从约束条件来讲，由于桁架自身特点和应用环境，研究者最早以位移、应力为约束条件，随着科学技术的飞速发展，桁架的稳定性、地震响应、刚度、频率、动力学、可靠性、屈曲约束、多工况多约束等方面分别被引入到桁架的优化研究中，这些条件的引入使得桁架优化设计越来越完善。

桁架结构应用广泛，但是由于桁架结构的理论优化尚处于探索完善阶段，故在实际工程中还未广泛应用。目前房屋住宅结构中的桁架、塔结构中的桁架、航天领域中的桁架以及军用桁架等的研究，一直是研究热点，也是将桁架理论研究应用于工程实践中较为成熟的领域。随着理论研究的逐渐深入和完善，以及全球资源的日益短缺，人们对生活质量水平要求的日益提高等客观事实的存在，作为改善结构功能、提高经济效益的拓扑和布局优化必将会受到更多的关注，实际应用也必将会更加广泛。

一、桁架结构优化的优化算法

在优化设计过程中，一旦建立了优化模型，那么根据模型中变量、目标函数以及约束条件的特点选择合适的优化算法就成为可能，这是较快速、较准确地得到结果的关键问题。如工程计算中由于采用变量类型的不同，采用的约束条件类型的不同，目标函数类型的不同等，采用的相应算法必然有所差别。据不完全统计，大约有300多种最优搜索算法，一般可归纳为三类，即数学规划法、力学准则法和仿生学方法。

数学规划法是在给定约束条件下求目标函数最大或者最小，常用于线性规划和非线性规划，是运筹学的重要分支，应用领域广泛。数学规划法依据已经掌握的工程条件，建立数学模型，有严格的理论基础，然后借助计算机技术求解，在满足工程要求的前提下得出最优解。实际的工程中优化设计问题一般是有约束的非线性规划问题，单纯形算法明显出现不足，近年来学者又针对规模较大的结构线性分析问题提出了椭球算法与卡玛卡算法，在大规模结构模型计算过程中与单纯形法相比，它们具有更高的效率。对于非线性规划问题，至今没有找到一个普遍有效的统一算法，对于同一设计问题采用不同算法，其计算效率明显不同。解决含约束的非线性规划问题的方法一般有直接处理约束、用线性规划逼近和转成无约束问题三类。目前常用的方法有拉格朗日乘子法和罚函数法，是将约束问题变为无约束问题的方法。还有解决无约束问题的变尺度法和黄金分割法，变尺度法是无约束优化方法中应用最为广泛的方法之一，黄金分割法属于一维搜索方法，是确定一元函数极小值点的数值方法。此外还有序列线性规划法、序列二次规划法、可行方向法、梯度投影法、广义简约梯度法、复形法、可变容差法、随机试验法等。一般设计人员进行结构设计需要掌握几种方法，才能较为准确地判断如何选用合适有效的算法，提高计算效率。

力学准则法是利用最优性准则法，从直观力学概念出发，在满足各种约束的设计方案中寻求最优方案。根据工程经验、力学概念以及数学规划的最优性条件，充分发挥材料的强度潜力，刚度潜力和贮能能力，达到工程造价最低的目的，力学准则法能够寻求结构的最小体积或者是近似最小体积。力学准则法可分为等强度准则、同步失效准则和能量准则等，它与数学规划法的普遍适用性不同，在应用上有很大的局限性，它利用的是结构的物理特征，不能建立与目标函数的直接关系，不同约束要采用不同的准则。但也正是因上述特点，它的迭代次数与设计变量无关，算法简单，迭代速度，而且设计思想简单，易于设计者接受和掌握。

仿生学方法是模仿生物进化现象，物竞天择，适者生存的原理逐渐形成的优化算法。它是上世纪中期出现的一门新的边缘学科，它研究生物体的结构功能和工作原理，并将这些原理移植于工程技术中。目前可将仿生学算法分为模仿自然界过程和模仿自然界结构两种算法，常用的算法有遗传算法、模拟退火法和神经元网络算法。由于桁架结构中杆单元数量较多，在以往的研究过程中，在众多的结构中进行选择是设计者面临的重大难题，而仿生学算法能够在其中起到很好的选择作用，因此这些算法在桁架优化过程中应用较为广泛，尤其是遗传学算法。

遗传算法是一类可用于复杂系统优化的具有鲁棒性的搜索方法，1975年由J.Holland首先提出。它是随着启发式概率搜索的思想不断发展，逐渐形成的，早期主要应用于组合优化和复合现行优化。遗传算法的主要优点是可对变量进行编码模拟生物遗传和进化过程，编码后的变量容易操作，可多点搜素，搜索空间较大，速度较快，适应性强，得到的最优解较为准确。它对参数或设计变量进行编码和解码，因此可解决的变量既可以是连续型也可以是整数型或离散型。随着一些新的理论和方法在不同领域的发展，设计者不断的探索，遗传学算法的应用逐渐扩展到更多的领域，它正不断地与神经网路，模糊推理和混沌理论等其他智能方法相结合。它在桁架应用领域应用较为广泛，研究者通常在遗传算法基本原理基础做相应的改进，对桁架进行优化。

模拟退火法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其慢慢冷却，加温过程中，固体内部的粒子随着温度的提高变成无序状态，固体内能随之增加，而慢慢冷却过程中，粒子又逐渐变成有序状态，在每个温度都能达到平衡，最后在常温时达到基态，内能减为最小。因此得到模拟退火算法，它是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。它既能处理连续型变量，又能处理离散型和整数型变量的非线性规划问题，优点是优化过程中能够搜索到到全局最优点，而且能够防止得到陷入局部最优解。模拟退火法在搜索过程中通常要根据不同过程调整不同参数，而工作过程又无统一的准则，无法在众多因素中迅速掌握所需温度数据，因此降低了其工作效率。

人工神经元网络是一种应用类似于大脑神经突触联结的结构进行信息处理的数学模型。它是由大量神经元和之间相互联结构成，每个神经元代表一种特定的函数，因此是一种运算模型。它具有非线性、非局限性、非常定性和非凸性四个基本特征，采用了与传统人工智能和信息处理技术完全不同的原理，具有自适应、自组织和实时学习的特点。

二、桁架结构拓扑优化

结构拓扑和布局优化是优化领域的高层次部分，被公认为是最具挑战性的研究课题之一。Michell在1904年首次提出了桁架理论，而其拓扑优化设计却是在Dorn提出基结构概念才真正开始的。所谓基结构是指在进行研究之前选定的初始结构，即部分杆件与荷载作用点、支承点和其他可能节点已经相互连接。在后来的多年研究中不难发现，绝大多数的桁架优化研究均是以基结构为基础展开，分别针对设计变量，优化模型和求解算法等方面深入研究。基结构方法的优化原理是在已经确定的基结构基础之上建立优化模型，然后选择与之相适应的搜索方法，在基结构的基础上增加或者删除某些杆单元。通常采用以杆单元的截面积为变量，删除杆件的原则是当优化结果中变量值等于0或者达到下限时就将其对应的杆单元删除。

纵观桁架拓扑优化研究的发展，大致可分为基于形状优化的拓扑优化，基于独立的拓扑变量的拓扑优化，集尺寸、形状和拓扑为一体的布局优化，以及非基结构法的智能拓扑、布局优化。

基于形状优化的拓扑优化是研究者们采用了取杆件的截面面积为设计变量，通过杆件面积取零值来实现结构的拓扑变化。这种模型的设计变量通常可分为连续型（即在指定的范围内可以连续变化，取任意值）和离散型（即在指定的离散域内取某一离散值）两种，目标函数一般取结构重量最轻或体积最小。这种方法虽是拓扑优化却与尺寸优化有相同之处，概念简单，操作方便，设计人员易于理解，但是对实际桁架的拓扑结构描述不准确，描述模型并不完全可靠，优化结果与实际情况存在的差异性较大；而且对同一桁架结构来讲，杆单元的截面积尺寸过多，不利于工程选材，即使节省了材料也不一定能保证工程造价。与此同时，此种方法优化可能出现奇异解，而将其求解效率延伸到拓扑优化的求解当中也比较困难。

基于独立的拓扑变量的拓扑优化，即为确定基结构中杆件的有或无，以达到目标要求的方法。此方法力求避免由于存在以尺寸变量为基础的拓扑优化对实际拓扑本质描述不确切的问题，而产生奇异最优解和求解效率较低的现象。拓扑变量作为独立变量时，建立的数学模型可能为离散的连续型混合优化问题，也可能为离散变量优化问题，只能采取非基于导数的优化算法。虽然思路清晰，但是用独立的拓扑变量描述桁架的实际连接情况尚有困难，而桁架结构类型较多，且很可能出现组合爆炸现象，单纯的人工分析其所有结构中可能的拓扑结构，工作量之大显而易见。有人提出根据桁架自身的超静定特点，将其自由度计算列为约束条件，此方法可以有效地减少不必要的有限元分析。能够将桁架的拓扑优化完全从尺寸优化和形状优化中独立出来，其意义重大，虽然目前没有统一的研究方法，其优化模型中选取作为拓扑变量的参数很多，但是仅以拓扑连接形式的描述量作为拓扑变量的文章鲜有发现，只要进一步研究，采用适当的求解算法，就可以使拓扑优化的研究工作有突破性的进展。

集尺寸、形状和拓扑为一体的布局优化，是多数学者认为能够获得最佳性能和最具经济效益的桁架结构形式必须选择的优化方法。因为在众多的研究成果之中，大多以尺寸优化为基础，同时考虑形状优化和拓扑优化，三者相互耦合、相互关联，才能更加贴切地对优化实质进行描述。这种优化方法可以应用于离散型变量问题，也可以应用于连续离散混合型变量问题，但是由于变量数量较大，约束条件的非线性程度较高，所以求解相当困难，因此该方法的发展一直很缓慢。

上述多为基于基结构的研究，但是人们很快发现应用基结构优化的结果存在许多问题。这些问题主要是：首先，基结构是事先给定节点和杆件数量及位置，不能完全反应桁架的所有可能结构，所以找到的可能不是全局最优解；其次，一般情况只有删除杆单元，不能在其他位置增加杆单元；然后，按照杆单元截面积趋于0时将其删除的原则，不能保证所删除杆单元承受的应力为0，那么将会造成整体结构的不稳定性；最后，随着节点数量的增加，优化模型中变量数量会剧烈增加，就是所谓组合爆炸，传统的方法失去了效率。虽然人们一直致力于对此问题的提出，先后应用各种建模方法和优化算法，采用桁架判别方法去除可能出现的机构问题等，但整体应用效果还不够理想。

可以认为，基于基结构法的拓扑、布局优化得到的最优解可能不是全局最优解，原因是基结构法确定初始结构时可能已经将全局最优解排出在外，让基结构包含所有的杆单元才能解决这个问题，而目前在多数学者认为这是不可能的。因此只有摆脱基结构，在所有可能结构中进行研究，才是真正的拓扑、布局优化，产生了非基结构法的智能拓扑、布局优化。目前一些基于进化、模糊和人工神经网络等智能优化算法被逐渐应用到桁架结构优化中，而且具有很大的应用前景，如Seung.Kook等提出利用爬行机器人带动桁架单元重组桁架结构方法；Mroz等提出利用生物生长模式，在简单结构基础上逐渐增加杆单元，从而改变桁架的拓扑结构，直到得到最优结构；将遗传学算法思想加以改进引入到桁架拓扑优化设计的文献也很多，其中一些研究已经摆脱了基结构束缚。这些方法为实现结构的智能优化提供参考，解决了奇异最优解问题。当然，目前这些研究还未真正成熟，在以后的研究中还有很大的发展空间，而桁架应用领域的实际工况又不只涉及基本结构，外界条件的变化也很重要，这是传统方法无法考虑完全的一方面，还需要进一步探索和研究。

自从桁架理论提出以来，桁架结构的拓扑优化大多数是基于基结构的结合尺寸优化的对于杆单元横截面积的优化，大家对拓扑优化的研究，大致分为对其优化模型的不断改进和对其优化算法的不断改进。而工程中杆件的连接情况对工程造价的影响较大，而且不同的杆件连接会引起不同的有限元分析，对于大型桁架还要考虑其所受载荷为静载荷还是动载荷，这样更加大了计算难度和工作量。本文为后期形成桁架结构优化设计方法和优化程序提供理论基础。对桁架结构优化通用程序的编写在桁架拓扑优化中将会有很大的意义。

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