二维不可压缩层流模型数值解与稳定性

肖润梅

摘要层流流动稳定性的研究主要在于数学模型的建立以及求数值解.以Poiseuille流动为例，运用谱方法对二维不可压缩层流模型OrrSommerfeld方程进行了展开与数值计算，得到了相应的层流稳定性数值条件．计算结果表明，谱方法具备较高的数值精度和较少的计算时间．

关键词OrrSommerfeld方程；稳定性；数值计算；谱方法

中图分类号O357.1 文献标识码A 文章编号10002537（2012）05002004

层流流体稳定性问题的研究长期以来一直倍受数学家的关注．当雷诺数在某个特定范围内逐步增大时，流体将经历一个由层流向紊流转换的特殊过程［1］，即由一个稳定的、亚临界的层流流体转化成为一个超临界的紊流流体．为此，通过对流体雷诺数和波长的计算来预测层流的稳定性问题变得尤为重要．目前，人们通过对层流流体加入微小外部扰动来预测层流流体稳定性的方法已被广泛地接受［2］．如果在此过程中，外部扰动能够逐渐减弱直至消失，那么流体将继续保持稳定．反之，如果这些外部的扰动随着时间的推移逐渐增大，那么流体将经历一个由层流向紊流流动转化的过渡过程．

层流流体的稳定性问题可归结为OrrSommerfeld方程求解问题，该方程的求解在数学界引起了广泛的兴趣．Davey［3］通过有限元的方法来求解OrrSommerfeld方程，取得了良好的结果．然而由于有限元方法本身的局限性，运算精度会受到很大的限制．如在计算误差（Δx）p渐进减小的过程中，运用有限元方法只能得到一些有限的p值，同时计算时间过长，不适合广泛运用于求解此类问题．切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近．Orszag［4］运用切比雪夫多项式以及QR矩阵特征值算法所计算的结果有着较高的计算精度以及较少的计算时间．

当前，谱方法已成为计算流体力学领域的三大主流数值方法之一，并受到广大学者的关注．它是上世纪70年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法，该方法在理论上具有“无穷阶”收敛性，可采用快速算法，现已被广泛用于气象、物理、力学等诸多领域，成为继差分法和有限元法之后又一种重要的数值方法［57］．由于谱方法的“无穷阶”收敛性且具备高的计算精度，相对于有限元方法和切比雪夫多项式的方法，它能够对误差形成指数型收敛，提高了计算精度并缩短了计算时间，为求解OrrSommerfeld方程提供了新的思路.

本文运用谱方法的数值分析，以Poiseuille流动为例对OrrSommerfeld方程进行了展开与数值计算，并利用计算结果对层流流体的稳定性进行了分析讨论，并验证了谱方法的高精度性和快速收敛性．

图1Poiseuille流动稳定性计算图求解方程（12）的特征值c，需要给定α和Re值．如果ci<0，那么层流流动将保持稳定，相反地，如果ci>0，那么层流流体就会向紊流进行转化，ci=0表示临界稳定状态．图1表示了ci随Re和α值变化的曲线（具体计算程序见附录1）．

图中分别显示了ci=0.0，ci=0.04，ci=006的等值线．从图中可以看出由等值线ci=00所包围的中间区域为不稳定区，也就是说当Re和α的值在这个范围内时，层流流体是不稳定的，极易向紊流进行转化．等值线ci=0.0外围被视为稳定区域．同时可以得到临界的雷诺数值为Recrit=5773，也就是说如果当流体的雷诺数小于5773时，无论α取值多少，流体始终保持层流流动．同时在临界雷诺数处，首先产生不稳定流体的αc=1.02．对于本文得到的临界数值可以与其他文献所得到的值进行比对，Thomas［9］运用有限元的方法得到Recrit≈5780，αc=1.026．Orszag［4］通过切比雪夫多项式的方法得到Recrit≈5772，αc=1.021．由此验证了通过谱方法求解OrrSommerfeldequation有着很高的计算精度以及较少的计算时间，为解决此类方程提供了新的思路．

参考文献：

［1］SCHOBEIRIMT.Fluidmechanicsforengineers［M］.Berlin：SpringerVerlag，2010.

［2］DAVEYA，DRAZINPG.Thestabilityofpoiseuilleflowinthepipe［J］.JFluidMech，1969，36（02）：209218.

［3］DAVEYA，NGUYENHPF.Finiteamplitudestabilityofpipeflow［J］.JFluidMech，1971，45（04）：701720.

［4］ORSZAGSA.Accuratesolutionoftheorrsommerfeldstabilityequation［J］.JFluidMech，1971，50（04）：689703.

［5］尚新民.谱方法的数值分析［M］.北京：科学出版社，2000.

［6］CANUTOC，HUSSAINIMY，QUARTERONIA，etal.Spectralmethodsinfluiddynamics［M］.Berlin：SpringerVerlag，1993.

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［8］DONW，SOLOMONOFFS.Accuracyandspeedincomputingthechebyshevcollocationderivative［J］.SiamJSciComput，1995，16（6）：12531268.

［9］THOMASLH.Thestabilityofplanepoiseuilleflow［J］.PhysRev，1953，91（4）：780783.