具有时滞的脉冲Rayleigh型方程的周期解

梁瑞喜

摘要讨论了一类具有时滞的Rayleigh型微分方程在脉冲扰动下周期解的存在性.通过将所考虑问题转换成相应的算子方程，得到了解的先验估计，然后利用Mawhin重合度理论，在脉冲项是有界的条件下，得到了该微分方程至少存在一个周期解.所得结果即使对相应的非脉冲Rayleigh型方程也是新的.

关键词Rayleigh型方程；重合度；周期解；脉冲时滞

中图分类号O17512 文献标识码A 文章编号10002537（2012）05000108

Rayleigh型方程x″（t）+f（x′（t））+g（x（t-τ（t）））=p（t）=p（t+T）因具有广泛的应用背景，人们对其周期解的存在性问题一直怀着强烈的兴趣，现已有大量的研究结果［18］.但具有时滞的脉冲Rayleigh型方程在这方面的研究较少见.本文利用拓扑度理论证明了如下脉冲Rayleigh型方程

x″（t）+f（x′（t））+g（x（t-τ（t）））=p（t），t≠ti，

Δx（ti）=Ii（x（ti），x′（ti）），

Δx′（ti）=Ji（x（ti），x′（ti）），

（1）

至少存在一个周期解，其中g，p，τ，Ii，Ji分别关于各自的变元在R上连续，且p（t），τ（t）皆为T周期的函数，并且f（0）=0和∫T0p（s）ds=0；Δx（ti）=x（t+i）-x（t-i），x（t-i），x（t+i）分别表示x（t）在t=ti处的左右极限，且x（t-i）=x（ti）；Δx′（ti）=x′（t+i）-x′（t-i），x′（t-i），x′（t+i）分别表示x（t）在t=ti处的左右导数，且x′（t-i）=x′（ti）；ti＜ti+1，且limi→±∞ti=±∞，i∈Z；存在正整数q使得ti+q=ti+T，Ii+q（x，x′）=Ii（x，x′），Ji+q（x，x′）=Ji（x，x′），设0＜t1＜t2＜…＜tk＜T.

为了方便，以下记Ii（x（ti），x′（ti））为Ii，Ji（x（ti），x′（ti））为Ji.

设X={x（t）∈PC′（R，R），x（t+T）=x（t）}，Y=PC（R，R）×Rk×Rk，其中PC（R，R）={x：R→R在t≠ti处连续，x（t+i），x（t-i）存在，且x（t-i）=x（ti），i∈Z}，PC′（R，R）={x∈PC（R，R）在t≠ti处连续可微，x′（t+i），x′（t-i）存在，x′（t-i）=x′（ti），i∈Z}.对一切x∈X，定义其范数为‖x‖X=max{x∞，x′∞}，其中x∞=supt∈［0，T］x（t），x′∞=supt∈［0，T］x′（t），对一切u=（y，c）∈Y，定义其范数‖u‖Y=max{y∞，c}，其中c=（c1，…，c2k），c=max1≤i≤2k{ci}，则X，Y在所定义的范数下成为Banach空间.相关脉冲理论文献请参考［9～13］.

本文将使用Mawhin连续定理［6］建立方程（1）周期解的存在性结果，对非脉冲Rayleigh型方程也是［7］的推广和改进.

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