MQ函数在偏微分方程中的应用

摘要讨论了用径向基multiquadric（MQ）函数（r）=r2+c2作为基函数解一类偏微分方程，给出方法步骤，并通过一个数值算例，说明这个方法是可行的．针对数值算例，比较了在相同步长时，用径向基函数在不同的形状参数时绝对误差的差异，说明微分方程数值解的精确程度与径向基函数形状参数的取值密切相关，得出节点越密时，数值解的精度不一定越高．同时也论证了在插值过程中所得到的矩阵方程解的存在唯一性．

关键词MQ函数；数值解；偏微分方程

中图分类号O241.82 文献标识码A 文章编号10002537（2012）05001505

许多物理现象和工程技术问题都可以归结为一个微分方程.大多数情况下，偏微分方程的解析解是不容易得到的，所以人们致力于寻找微分方程的数值解.微分方程的数值逼近可以通过Euler法，RungeKutta法和数值积分等方法得到［12］.

近些年来，人们的主要目标是寻找各种各样的无网格方法，利用径向基函数（RBF）解微分方程是受到普遍关注的无网格方法，人们已经用径向基函数配置法解线性和非线性的偏微分方程［38］.1971年，Hardy［9］总结评论了关于multiquadric（MQ）函数的各种应用，特别是在地理，遥感，信号系统等方面的成功应用.自从Kansa［1011］用径向基函数解偏微分方程（PDE），并且得到非常精确的解后，用径向基函数解偏分方程引起越来越多的关注，Madych和Nelson［1214］证实了MQ插值的收敛性.

用径向基函数配置法解微分方程的过程中，会得到一个线性方程组，只要此线性方程组的解存在唯一，就可以得到微分方程的数值解.所以验证线性方程组解的存在唯一性，也是径向基函数配置法解微分方程的重要部分.去年，本文作者已经验证当选用正定径向基函数时，线性方程组的解是存在唯一的［15］.但是对于非正定径向基函数的情形，还没有得到证明.

由表1可知，选取的形状参数不同，所得到的最大绝对误差有很大差异，说明偏微分方程数值解的精确程度与形状参数的选取有密切的关系.从表1可以看出，当形状参数c=5时，所得到的最大绝对误差达到10－5，而选取形状参数c=0.5的时候，最大绝对误差是10－2，并且c=2时的误差明显优于c=0.5，但是，这并不能说明，当形状参数越大，所得到的误差越好，比如，c=4时的误差要优于c=5.

一般来说，节点取得越细，划分得越密，所得到的数值解精度越高，但实际结果并非如此，本例取N=57，步长h=π8，选取形状参数c=0.5，数值解与精确解比较，结果见表2，通过数值运算发现，只有当形状参数在0.1到0.9之间时，最大绝对误差可以达到10－2或10－3，在其余范围取值时，绝对误差甚至达到103.3结论

本文中利用MQ函数解偏微分方程所得到的解与精确解比较，有很小的绝对误差，所以在插值点得到令人满意的数值解.通过选择相同的步长及不同的形状参数，得到不同的绝对误差，所以所得数值解与径向基函数形状参数的选取密切相关.那么，如何选取形状参数？一般地，通过2个形状参数，对所得数值解进行比较，逐步选取合适的形状参数，根据经验逐步计算，这种方法并不是很好，甚至有时候不能得到满意的数值解，所以径向基函数的形状参数如何选取，还需进一步研究.

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