小学数学课程教材现代化之体现

◆胡清六

1 引言

现今，精彩的数学活动包括：对单位的意义、读法、写法的显示与应用；位置值、单位值概念的确立、显示与应用；组成单位、基本单位、主单位的确认，显示与应用；数码、数字、数量、比值的分辨与应用。它揭示自然数、10进制数、2进制数、4进制数、8进制数、16进制数、32进制数、64进制数，不同进制数并存、各显本能，争为社会发展、科技进步加力。

2 小学数学课程教材现代化之体现

2.1 课程定位

以自然数为基础，传承人类精粹的数学思想、方法；以10进制数为主导，真实地反映人类生活，密切数学与人类的关系；以2进制数为发展方向，揭示数学与社会进步、科技发展的关系，为此奠基。

2.2 重心移位

计算的准确、快速，在数学教学中一直占有重要分量。近代算盘曾是数学教学的重要教具；很多电视广告大力宣传的“一分钟速算”，也同样不代表教改的方向，它因微型计算器普及与使用而暗淡。反之，数理、算理的掌握与显示的过程与应用，是时代的呼唤，体现了教改的方向。

2.3 理论创新、科学发展

数学就是用单位的组合体去显示和描述客观世界的存在，并逐步抽象概括、形成方法和理论，并广泛应用的过程。单位、即标准数量，用数学模型（数学事实）显示其意义，用1显示其存在，用其标识（名称、符号、单位值……）表达，并称单位显示的三要素，如：1 cm。数字是对单位组合体的抽象，显示单位的个数。数字的意义不同，可分为自然数、10进制数、2进制数等。数字的意义不同，显示数量的组成结构不同，其写法、算法也不同。数字是用数码或数码的有顺组合显示的，如显示自然数的数码共10个，因地域不同而写法有异，如1（一）、2（二）、3（三）、4（四）、5（五）、6（六）、7（七）、8（八）、9（九）、0（零）。数量用数字与单位的名称组合显示，表示某种量的多少，即哪个单位的个数。数量分为单名数或复名数，单名数是对相同单位组合体的描述，复名数是对不同单位组合体的描述。将复名数简写成单名数（用主单位的名称表示的数量），用各组成单位分别与主单位的关系显示，认识整数、小数、分数。比值的显示或整数或小数或分数形式，它显示两个数量的关系，它以两个数量的存在而存在。数字与数量、单名数与比值的显示雷同，不能简单地以名数、不名数去区分，而要从意义、用法的不同去分辨。概念的教学是体现素质教育的重要手段。

1）自然数的写法与位置值的显示。自然数是对相同单位组合体的抽象，显示某单位的个数。只用到一个单位自然数的写法不涉及数位、数位顺序、位数的概念。如何用1、2、3、4、5、6、7、8、9与0或它们的有序组合，显示无限个不同的自然数的数字？涉及一个重要的数学概念——位置值。位置值由法国著名数学家拉普拉斯（1749—1827）提出，指出：数码在不同位置有不同的位置值，如：1（一）、10（十）、100（百）、1000（千）……显示数码1在不同位置有不同位置值一、十、百、千……得到位置顺序……千百十一；依据位置顺序，用同一位置数码的不同与同一数码位置的不同显示各不同的自然数。在自然数中，只有自然数1是对单位的抽象，其余均为这一单位的不同个数。用自然数表示数量的多少，教材中称为整数。

2）2进制数的写法与单位值的显示。2进制数是对不同单位组合体的抽象，显示单位不同的个数。自然数与2进制数为龙凤双胞胎，前者相同单位的个数可以无限，后者单位不同的个数可以无限，它们都能显示同一个数量的多少。如何用1与0两个数码，显示一个数量所用不同单位的个数？涉及一个重要的数学概念——单位值。将一个单位不同的组合体抽象为一个数字，不同单位如何显示？这就涉及数位，数位顺序、位数的显示法。单位值的概念也就应运而生。如一物的长度刚好为8 cm、4 cm、2 cm、1 cm四段不同长度之和，显示其物长度的数字，用自然数显示是15，用2进数显示是1111；15指一个单位（1 cm）的个数（8+4+2+1），1111指4个不同长度单位的合并（1+1+1+1）。如何显示1111这四个单位的不同？只能从单位显示的三要素入手，最小单位的标识是“cm”，其余3个不同单位给予不同的标识无法解决，8、4、2、1可作为单位值标注单位的不同，用它们显示数位、数位顺序，既容易造成混乱，更不可持续。若将8、4、2、1改用23、22、21、20显示，其数位顺序显示为……23222120；用它显示这一长度的组成单位不同，一目了然。

单位值确定用幂显示，并作为单位的标识。这一创新，标志数学基础理论的重大突破，用它可显示……N3N2N1N0；得到N进制数的写法；显示数与式的联系，如（321）N=3N2+2N+1；当位置值与单位值相等时，N进制数与自然数可相互改写，如15=（1111）2，（）2为2进制符号。单位值概念的确立、显示方式的确认，能定量刻画结构多变的单位组合体，揭示20世纪中叶后数学自身的发展发生的巨大变化。

3）10进制数与人类生活的显示。数学来源于人类生活，又必须反映生活。国际标准单位普遍为10进单位。因此，用10进制不同单位的组合体显示数量，是当今社会最常见的显示方式。用单位值显示十进制为……103102101100，因量的类别不同，显示10进可分类为…元角分…、…米分厘毫…等，其排列均显示数位顺序。用10进制不同单位组合体显示的数量，用不同单位的名称显示10进制，数位、数位顺序、位数显示一目了然。用数码1、2、3、4、5、6、7、8、9或0显示不同各单位各自的有限个数，就能真切地显示和描述人类生活中的数量，密切数学与人类的关系。

2.4 小学数学课程现代化的标志

1）以10进数为主导，其主导地位的确立，是因为数量的显示方式普遍是不同10进单位的组合体。只有10进才能用不同单位的名称排列显示；用单位的名称排列显示数位顺序，它最能反映人类生活：①显示数量的读写（单名数或复名数）；②显示单名数的写法，用各组成单位与主单位的关系显示（确定小数点在数位顺序中的位置）；③显示单名数的改写（小数点所在的数位不动，其10进数在其数位顺序中或左或右位置移动）；④显示小数的基本性质；⑤计算1+1=2，显示相同两单位的合并，1+1≠2显示不同两单位的合并。

2）以2进数为发展方向。为何为发展方向？①因一个2进数是对一个自然数的扩写，使计算简单，口诀为：一上一或一去一进一，一去一或一退一还一。显示计算器计算原理。②16进制数、32进制数是对一个自然数的缩写，用于科学研究，它们可改用2进数进行计算，学习2进数，为社会发展、科技进步奠基。

3）以自然数为基础，传承人类精粹的数学思想方法。N进制数、不同进制数是以自然数为基础的发展，单位值的显示实为对一个自然数显示方式的改变。自然数为相同单位个数加减等式显示多数量的联系，揭示同一单位个数的增减变化。乘除等式显示两数的关系（比值），比例式显示两数量的存在状态（简比），比值与简比可相互改写，它们均以两数量的存在而存在。求解比值与简比，涉及一个数是奇数还是偶数、是合数还是质数，一个数质因数的个数多少的肯定。对两个数的公约数与公倍数，最大公约数与最小公倍数的求解，互质数的求解，这些概念都只能在自然数的范围内成立，求两数量的关系转化为求两自然数的关系，依据两数量关系式解决数学问题。

3 结语

综上所述，不同意义的数都能显示数量的读、写、算，10进数优于显示数量的读写，2进制数优于显示数量的计算，自然数揭示多数量的联系与显示两数量关系，小学数学教育才能简单、科学，与时俱进。

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[5]胡守成.数理创新结硕果 科技花开分外香:十进制单位关系算盘[J].中国教育技术装备,2013(17):42.