重要极限公式的新证法及推广

2013-01-21 09:17任建功慕晓凯
赤峰学院学报·自然科学版 2013年9期
关键词:趋向于幂指数二项式

任建功,慕晓凯

(广东培正学院 基础部,广东 广州 510830)

微积分作为理工科类、财经管理类等各个专业都必修的核心课程之一,它对激发和培养大学生逻辑推理能力、思辨能力、创新能力的重要途径.在微积分内容里面重要极限公式证明时,在很多教科书中都是千篇一律地利用二项式定理来完成,但是很多学生很难掌握二项式展开,造成学生理解的困难.鉴于此况,给出了一种更简明证法.

证明过程如下:

利用二项式定理证明此极限时候,要用到二项式展开,单调有界准则,两面夹法则.在此种证明方法,主要利用指数与对数的转换,利用洛必达法则中“1∞”极限的求法,得出了此极限.通过比较,不难看出,利用此方法的证明过程比文献利用二项式定理展开的证明过程,要简单明了许多,更容易理解,并且需要的知识点都是平时接触过的.

对于重要极限公式的主要特征是:

1.它属于幂指函数求极限的问题,在自变量的变化过程中,底数趋向于1,幂指数趋向于无穷大,属于1∞型的未定式.

2.它的底数由两项所构成,第一项是1,第二项是趋向于无穷小量的变量.

3.底数中的第二项与幂指数的乘积的极限为常数.

对于重要极限公式进一步地推广为:

综上所述,我们在求幂指函数,尤其是重要极限公式II类型的函数极限的时候,不要再单一地利用重要极限公式II而去转化幂指数部分,可以通过洛必达法则“1∞”型未定式的方法,结合复合函数极限内容,从而简单地求得结果.

〔1〕徐名扬.两个重要极限公式的推广[J].江苏教育学院学报(自然科学版),2009(09):51-53.

〔2〕迟彦惠.微积分(上册)广州:华南理工大学出版社,2009.

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