浅谈高效课堂数学教学的变式训练＊

章向锋

（德化第六中学，福建 德化362500）

例题、习题是训练学生的思维材料，是教者将自己的思想、方法以及分析问题和解换问题的技能技巧施达于学生的载体.通过例题、习题的变式教学，形成数学的基本思想、基本方法和基本态度所构成的认知体系，以及学会用数学的思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思维习惯是学生数学素质的核心内容.现在的教学资源很丰富，教学资料随处可得，用哪种资料的习题，不用哪种资料的习题，教师和学生很难作出选择.笔者根据自己十多年的初中教学经验，认为教师所选用的例题、习题应“源于课本”，然后对它进行变式，使它“高于课本”.变式时要紧扣考试说明，以“考纲为纲”.在历年的中考题中，其内容大都源于课本，都是课本例题、习题的变式.因此，中学数学教学加强对“变式教学”的方式方法研究显得十分必要.

1 “变式教学”的目的和原则

马登理论（Madden theory）［1］对概念教学的启示是：概念教学中，概念习得之前与习得之后“变”的程度应有不同的侧重点和方法.认知心理学认为：数学学习并不是被动地接受过程，而应该是一个创新过程.因此，现代的数学教学应建立在对学生进行积极鼓励，引导学生积极探究的创新型教学模式之上.书本中例题、习题的变式训练是创新型教学的重要手段之一，它既能调动学生学习的积极性，又能激发学生的求知欲望和不断进取的精神，有助于培养学生的发散思维、创造能力和张扬个性.

“变式教学”主要有以下原则：一是针对性原则.例题、习题变式教学不同于习题课的教学，它惯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课.因此，对于不同的时授课，对例题、习题的变式也应不同.例如，新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲.在例题、习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性.二是可行性原则.选择课本例题、习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；难度“变”大的变式例题、习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，因此在选择课本例题、习题进行变式时要有“度”.三是参与性原则.在例题、习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”要鼓励学生大胆地“变”，以培养学生的创新意识和创新精神.在“变式教学”过程中，例题的变式有利于“丰富”概念，有利于“纯洁”概念，从而尽可能避免非本质属性泛化的错误，使数学概念的概括精确化，提高“变式教学”的有效性.

2 “变式教学”典型案例分析

原型与变式对数学概念学习的影响，促使我们提出在教学中要充分发挥二者的积极作用，避免其不利影响的建议.然而，仅仅做到这一点，对于许多数学概念的学习与深刻理解还很不够［2］.在教学中讲解矩形和菱形的判定时，为了增强学生对矩形、菱形的判定方法的区别和联系，加深对其性质的理解和认知，可以采用如下“变式教学”.以人教版《几何》第二册第152页例5为例：

已知：平行四边形ABCD 的对角线AC的中垂线分别交边AD、BC于点E、F（如图1）.

求证：四边形AFCE是菱形.

图1

图2

分析与解：把原题中的条件平行四边形ABCD 改为矩形，其余条件不变（图2），问学生上述结论仍否成立？

当学生回答成立后，进一步引导“怎样从一矩形得到一菱形呢？学生思考后，可能会出现以下几种思考和说明：

（1）矩形ABCD，∠BAD.∠DBC的平分线分别交BC、AD 于F、E 点，则四边形ABFE 是菱形（图3）.此变式的根据为菱形判定定理2.

（2）在矩形ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边的中点，则四边形EFGH 是菱形（图4），此变式的根据是判定定理1.

图3

图4

（3）菱形对角钱会平分一组对角，所以在矩形ABCD 中作∠CAF＝∠DAC，交BC于点F，过点C作CE∥AF交AD 于E，则四边形AFCE是菱形，如图5.

（4）菱形是四条边相等的四边形，而矩形的对角线恰是平分且相等，因此在矩形ABCD 中，作点0关于CD 的对称点E，则四边形OCED 是菱形，如图6.

图5

图6

当学生进行了上述变式后，教师又可不失时机地问：“如何从一菱形得到一个矩形呢？”学生的思考中又可能会出现以下几种情况：

（1）可以用边的中点得到菱形，则也可以把菱形四边中点构成一个矩形，如图7，菱形ABCD 中，E、F、G、H 分别为四边中点，则四边形EFGH 是矩形.

（2）可以用轴对称得到菱形，则也可以用中心对称由菱形得到矩形，如图8，菱形ABCD 中，E、F分别是B、D 关于A 点的中心对称，则四边形BDEF是矩形.

（3）矩形是有一个直角的平行四边形，如图9，过点B作BE⊥AD 于点E，过点D 作DF∥BE交BC于F，则四边形BFDE是矩形.

（4）如图10，菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点0，在OB、OD 上分别取OE＝OA，OF＝OC，则四边形AECF是矩形.

图7

图8

图9

图10

通过这些变形，学生对矩形、菱形的知识结构有了更深层次的认识.学生只要经常展开智慧的翅膀，相信在课改下的学习会有意想不到的收获.经常进行变式问题的探究，往往能导出一般的结论或发现一个新的问题，学生的概括能力、想象能力、逻辑推理能力都会得到大幅度的提高.

3 例题、习题变式教学应注意的问题

（1）源于课本，高于课本.在中学数学例题、习题变式教学中，所选用的“源题”应以课本的例题、习题为主，课本例题、习题均是经过专家学者多次筛选后的题目的精品，我们没有理由放弃它.在教学中我们要精心设计和挖掘课本的例题、习题，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解，以提高学生灵活运用知识的能力.

（2）纵向联系，温故知新.在中学数学例题、习题变式教学中，对例题、习题的变式要注意纵向联系，要紧密联系以前所学的知识，让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高，从而提高学习效率，让学生明白“任何事物都是相互联系的”这一哲学道理.

（3）横向联系，开阔视野.数学学科不是独立的学科，它与很多其它学科是紧密相联系的；在中学数学例题、习题变式教学中，要注意与其它学科的联系，注意培养学生的发散思维，让学生的思维得到迁移，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力

紧扣《考试说明》，万变不离其宗.这些年来，由于各地市大都实施独立命题，要做到提高学生对新的考试的适应性和提高教学效果，必须依据《考试说明》.在中学数学例题、习题变式教学中，例题、习题的变式要紧扣《考试说明》，要以考钢为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣.

［1］徐汝成.马登理论及其对数学教学的启示［J］.数学教育学报，2002（1）：48～50.

［2］李善良.论正例和反例对数学概念学习的影响［J］.中学教研（数学），2005（9）：1～4.