应用MATLAB研究弹簧摆的动力学行为

蔡亮

(南京市第十二中学 江苏 南京 210011)

1 问题呈现

关于中学物理中弹簧摆模型动力学行为的研究，受到同行的普遍关注.文献[1]中作者从正确建立物理情境(图像)的角度对两道关于守恒问题的习题进行了深入的分析，而文献[2]的作者认为文[1]的作者对例1的分析与解是值得商榷的.两文争论的焦点题目现呈现如下.

图1

对于本题的解题思路文献[2]给出了合理的解释，在此不做复述.下面将深入地探讨该类问题情境下小球的运动情况到底怎么样.

2 动力学方程

建立如图1所示的直角坐标系，并对小球进行受力分析，可以得到两个方向上的动力学方程，设弹簧原长为l0，l为形变后的长度.

而

写成微分方程形式，并消去参数θ后得到

方程两边同时除以质量m后得到

这是一个二阶微分方程组，为便于进行数值计算，需进行降阶处理，可以得到4个一阶微分方程构成的微分方程组，而且是自治的，如下所示.

说明：在以下的数值模拟中(Matlab 7.0)，我们取l0=1，g=9.8，初始条件x1=1，x2=0，x3=0，x4=0，研究小球的动力学行为随参数κ0的变化情况(实际上取不同的弹簧原长，动力学行为也是不一样的).

3 动力学图像

图2 不同参数κ0对应的小球的运动轨迹图及相应空间图

4 小结

参考文献

1 薛永红，姜建成.莫要轻视守恒问题中的物理图像.中学物理，2010(6)

2 许文.错在哪里？物理教师，2011(1)