一道值得商榷的高考压轴题

叶玉琴 杨纯

(安庆市第二中学 安徽 安庆 246000)

【题目】如图1所示，坐标系xOy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E.在其他象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h，C是x轴上的一点，到O点的距离为l.一质量为m,电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域，并再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角.不计重力作用.试求：

(1)粒子经过C点时速度的大小和方向；

(2)磁感应强度的大小B.

图1

本题为2007年高考全国卷Ⅱ第25题，也即压轴题，它把带电粒子在电场中的运动和磁场中的运动结合在一起，涉及了类平抛运动和圆周运动的知识，注重物理过程的分析，把物理过程和物理规律相对应是解决问题的关键，本题的解答还对几何、三角等数学知识有较高的要求，且运算也较复杂，是一道难度较大的力、电综合题.

高考卷提供的参考答案如下：

解析:(1)以a表示粒子在电场作用下的加速度，加速度沿y轴负方向.

图2

设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有

(1)

l=v0t

(2)

由式(1)、(2)得

(3)

设粒子从C点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量为

(4)

由式(3)、(4)得

(5)

设粒子经过C点时的速度v的方向与x轴的夹角为α，如图2示，则有

(6)

联立式(3)、(4)、(6)可解得

(7)

(2)粒子从C点进入磁场后在磁场中做速度为v的圆周运动.若圆周的半径为R，则有

(8)

Rcosβ=Rcosα+h

(9)

Rsinβ=l-Rsinα

(10)

由式(7)、(9)、(10)解得

(11)

由式(5)、(8)、(11)得

质疑：上述解答是常见的标准答案，看似天衣无缝，其实不然.笔者通过认真分析研究，发现本题有不妥之处，若按原题条件进行求解，进一步分析就会得出自相矛盾的结果，现提出来与同仁交流.

矛盾之一：三角形两边之和小于第三边.

在第(2)小题中，P点为圆心，现不妨延长CP交y轴于Q点，如图3所示.

图3

(12)

又由第(1)小题解得

于是可解得

所以

(13)

又因为

所以

(14)

比较式(13)、(14)易得出

很显然，这是一个错误的结论.

矛盾之二：三角形的一个内角的正弦值为负.

在原解析中，根据第(1)小题解得的

可得

(15)

将式(11)、(15)代入式(10)可解得

即

sinβ<0

根据前面作图及分析可知， ∠QAP=β，这表明，在△AQP中，它的一个内角∠QAP的正弦之值为负.

很显然，这也是一个错误的结论.

释疑：那么，导致以上矛盾的原因是什么？是命题情境不成立还是题给条件多余或是错误？经过认真的思考研究，笔者认为原题中粒子由C点做圆周运动再回到A点的情境是成立的，因为由题中条件即类平抛运动轨迹上的点A，点C以及C点的速度方向，可以确定圆心P的位置，因为AC为弦，过C点且垂直于C点速度的直线与弦AC的中垂线的交点即为圆心，也即粒子从C点进入磁场后在磁场中的匀速圆周运动的轨迹是唯一确定的.既然如此，那么“粒子再次通过A点的速度方向与y轴正方向成锐角”这一题给条件就是多余的，甚至可能是错误的.正是因为如此，从而造成矛盾.

而在原解析中，我们可以看出圆心的位置是这样大致确定的，因为粒子做圆周运动再次到达A点时的速度方向与y轴正方向成锐角，所以，过点A的半径必然在y轴的右侧，于是圆心P点即过A点、C点且分别垂直于该点速度方向的垂线的交点在y轴的右侧.但事实上，粒子再次回到A点时速度方向是右下方向，而非右上方向，也就是说与y轴负方向成锐角，即题给条件“再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角”是错误的.笔者给出证明如下.

图4

如图4所示，设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，做类平抛运动到C点时粒子速度为v，v的方向与x轴的夹角为α，同时令位移AC的方向与x轴的夹角为θ，如图4所示，由平抛运动规律知

tanα=2tanθ

进行变形

于是有

sinαcosθ=2cosαsinθ

进一步变形

sinαcosθ-cosαsinθ=cosαsinθ

即

sin(α-θ)=cosαsinθ

因为α，θ均为锐角，所以

0

于是有

sin(α-θ)

即

(α-θ)<θ

两角差(α-θ)是一个有着双重物理意义的量.第一，对于粒子在电场中的类平抛运动来说，(α-θ)表示粒子在C点速度方向与位移AC方向的夹角；第二，对于粒子在磁场中的匀速圆周运动来说，(α-θ)表示粒子在圆周上C点速度方向与弦AC的夹角，即弦切角.根据圆的性质知，粒子在磁场中做匀速圆周运动再次通过A点时的速度方向与弦AC的夹角也等于(α-θ)，由分析证明得(α-θ)<θ，这表明粒子再次通过A点时的速度方向是在v0与AC之间，即与y轴正向的夹角大于90°，与y轴负向的夹角为锐角，不仅如此，而且与v0方向，或者说与AC的夹角是确定的.

以上的分析表明，原题中的“再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角”不仅是多余的，而且是错误的，所以，笔者建议将原题中“此时速度方向与y轴正方向成锐角”删去，若考虑降低难度，便于学生求解，则应将此条件改为“此时速度方向与y轴负方向成锐角” 或改为“此时速度方向与y轴正方向成钝角”.真是一字之差，正误之别.

第(1)小题解答不受此条件影响，仅第(2)题需调整，现解答如下.

(2)粒子从C点进入磁场后在磁场中做速度为v的圆周运动.若圆周的半径为R，则有

(16)

图5

由几何关系得

Rcosβ=Rcosα+h

(17)

Rsinβ=Rsinα-l

(18)

由式(7)、(17)、(18)解得

(19)

由式(5)、(16)、(19)得

可以看出，条件调整后，只有式(10)发生变化，但所求结果仍与原解析一致.

结语：由于本题是高考全国卷的压轴题，带电粒子在复合场中的运动的典型，属于力、电综合应用题，覆盖的知识点多，综合考查学生的多种能力，所以，自2007年以来，几乎各种版本的真题集、各种高三教辅资料、冲刺卷包括多种高考网络资源等等，都有这道高考题及几乎完全相同的高考卷的参考答案.但也由于本题难度较大，题中出现的错误条件隐蔽性强，故不易被教师和学生发现，笔者进入期刊网进行了大量检索，未检索出关于对这道高考题进行质疑研究的论文，故作此文，以期与读者及同仁交流.