非线性时变时滞系统的鲁棒H∞控制*

陈衍峰，陈 军

(通化师范学院 数学学院，吉林 通化 134002)

近20年来，线性系统鲁棒H∞控制理论的研究取得了很大进展[1-2]，并被逐渐推广到非线性系统中．文献[3]给出一类不确定非线性系统鲁棒H∞控制问题的解，但是文中并未考虑时滞．文献[4]给出一类非线性时滞系统鲁棒H∞控制器的存在条件及设计方法，但时滞是常量．

本文研究一类非线性时变时滞系统的鲁棒H∞控制问题，应用LMI方法，给出该系统鲁棒渐近稳定且满足H∞性能指标的控制器存在的条件及设计方法．

1 问题描述

考虑如下非线性时变时滞系统

(1)

其中，x(t)∈Rn是状态向量;w(t)∈Rq是扰动输入;z(t)∈Rs是系统输出;u(t)∈Rm是控制输入;C1，Ai，Bi，Di，i=1，2是常数矩阵;h(t)是时变时滞且满足

(2)

令非线性扰动f=f(x(t)，x(t-h(t))，t)且满足

fTf≤xT(t)F1x(t)+2xT(t)F2x(t-h(t))+
xT(t-h(t))F3x(t-h(t))

(3)

其中，Fi(i=1，2，3)是对称正定矩阵．

本文的目的是设计一个鲁棒H∞控制器

u(t)=Kx(t)

(4)

使系统(1)的闭环系统满足：

(1)鲁棒渐近稳定；

2 鲁棒H∞控制器的设计

定理1 对满足(2)的时变时滞h(t)，(4)为系统(1)的鲁棒H∞控制器的充分条件是：如果存在对称正定矩阵P，Q，下面的LMI成立．

(5)

其中

证明 选取Lyapunov泛函为

(6)

于是

(7)

从而下面的不等式成立

由不等式(5)易知

(8)

对不等式(8)两端积分，有

因此，系统(1)鲁棒渐进稳定且满足H∞性能指标．

定理2 对满足(2)的变时滞h(t)，(4)为系统(1)的鲁棒H∞控制器的充分条件是：如果存在对称正定矩阵X>0和M1>0，M2，及Y∈Rm×n，下面的LMI成立．

(9)

如果上述条件满足，则(4)是系统(1)的鲁棒H∞控制器，控制器为

u=YX-1x(t)

(10)

证明 当u(t)=Kx(t)，系统(1)的闭环系统为

从而此闭环系统鲁棒渐近稳定且满足H∞性能指标的控制器存在的充分条件是：存在对称正定矩阵P，Q，满足下面的LMI．

(11)

3 数值算例

针对系统(1)，考虑以下参数

应用定理2，利用Matlab求解(9)式，可得

于是，系统(1)的鲁棒H∞控制器为

u(t)=[-4.3713 -0.6107]x(t).

参考文献：

[1]冯俊娥，程兆林.不确定性奇异时滞系统的鲁棒H∞控制[J].控制理论与应用，2004，21(2):158-164.

[2]张维海.随机不确定系统的鲁棒H∞控制[J].工程数学学报，2004，21(4):592-601.

[3]沃松林，史国栋，邹云.具有非线性扰动的广义系统的鲁棒H∞控制[J].控制与决策，2009，24(3):356-360.

[4]辛云冰.一类非线性时滞系统与时滞相关的H∞控制[J].数学的实践与认识，2008，38(18):201-206.