Riesz空间中序收敛的几点注记

陈 芳 （阿坝师范高等专科学校预科部，四川 汶川623002）

在Riesz空间及其算子理论中，序收敛具有非常重要的作用。文献 ［1］比较了几种序收敛的关系，笔者在此基础上讨论了这几种序收敛对算子的影响。

1 序收敛的几种概念

易知，若一个网是1-序收敛的，则它一定是2-序收敛的，反之不成立。具体的反例请详见文献［6］。但若放在完备的空间里讨论，易知这2种序收敛是等价的。而当空间不是完备的，则有如下性质：

性质1［1］若E是Riesz空间，对于E中的网（xα）α∈A，和x∈E，则（xα）α∈A在E中2-序收敛于x等价于（xα）α∈A在Eδ中1-序收敛于x，其中Eδ是E的完备化空间。

注：笔者未介绍的概念和专业术语请参见文献［2-5］。

2 序连续算子的序有界性

定义4 设E，F是Riesz空间，则：

引理1［1］设E，F是Riesz空间，且算子T：E→F是1-序或2-序连续的，则T是序有界的。即任意的序连续算子都是序有界的。

引理2［1］设E，F是Riesz空间，且T：E→F是算子。若T是1-序连续的，则T是2-序连续的。

文献［6］给出了具体的反例来说明了引理2的逆命题不成立。

3 1-序连续和2-序连续2种算子的等价条件

定理1说明，只要值域空间是完备的，则1-序连续和2-序连续2种算子等价。定理2表明只要是正算子，则2种序连续等价。这2个定理一个是对空间进行限定，另一个是对算子提出要求，同样都可以得出2种序连续算子等价。

［1］Abramovich Y A，Sirotkin G．On order convergebce of nets［J］．Positivity，2005 （9）：287-292．

［2］Zaanen A C．Introduction to operator theory in Riesz spaces［M］．Berlin-Heidelberg-New York：Springer-Verlag，1996．

［3］Aliprantis C D，Burkinshaw O．Positive operators［M］．New York-London：Academic Press，1985．

［4］Meyer-Nieberg P．Banach lattices［M］．Berlin Heidelberg New York：Springer-Verlag，1991．

［5］Kelley J L．General Topology［M］．New York：Van Nostrand，1995．

［6］Schaefer H H．Banach Lattices and Positive Operators ［M］ ．New York：Springer-Verlag，1974．