一类带有时滞非线性系统的稳定性开关分析

2012-12-28 06:12左宏坤
淮南师范学院学报 2012年3期
关键词:科学系李雅普诺夫

左宏坤

(淮南师范学院 数学与计算科学系,安徽 淮南 232038)

一类带有时滞非线性系统的稳定性开关分析

左宏坤

(淮南师范学院 数学与计算科学系,安徽 淮南 232038)

针对一类带有时滞的非线性系统,通过对其平衡点处特征方程的分析,构造相应的李雅普诺夫函数,获得了平衡点处的稳定性开关变化的判别准则,并对开关值获取的算法进行了讨论和分析。

稳定性开关;平衡点;李雅普诺夫函数;数值解

1 引言

对于一般的非线性动力系统,我们通常是通过构造李雅普诺夫函数,来分析平衡点处的稳定性。但由于带有时滞系统的复杂性,通常的李雅普诺夫函数构造方法不是很适用,这里我们通过对其平衡点处特征方程的分析,再结合李雅普诺夫方法[1]和非线性系统的定性理论[2],得到了一类带有时滞的非线性系统稳定性变化的判定准则,并获得了稳定性开关的算法,这里讨论的系统具体如下:

这里的n*,u*为系统(1)的平衡点,下面对方程(2)的特征根进行讨论。

2 稳定性开关的判定准则

为了便于对方程(2)特征根的讨论,将其转化为

则由稳定性理论可知道,iω(τ)是(4)的根,则 ω(τ)一定也为(7)的根,由此可以通过分析方程(7)来讨论系统(1)的稳定性,令 Ω⊂R+0,且Ω={τ│ω(τ)是(9)的正根},

下面我们通过引入判别准则,来判断开关点处稳定性的变化。

此处 G(ω),F(ω)如前定义,当 δ±(τ)>0 时,iω(τ*)从左至右穿过虚轴,当 δ±(τ)<0 时,iω(τ*)从右至左穿过虚轴。

3 开关性质的进一步讨论及分析

由以上分析可知:

(1)若 τ∉Ω,则(7)无正根,即系统(1)无稳定开关。

(2)若对∀τ∈Ω,ω(τ)是(7)的正根,则由判别准则分析可知,若 δ±(τ)>0,由稳定过渡到不稳定,若 δ±(τ)<0,则由不稳定过渡到稳定。

Sn(τ)是连续和可微的[3]。 则 Sn(τ)的零点就确定了系统开关的分布。但Sn(τ)=0一般无解析解,则可利用数学软件进行模拟。下面给出一组具体数据分析,这里为了讨论方便,假设:

利用数学软件可得到S0(τ)=0的数值解,它们即为系统(1)的稳定性开关,再由判定准则即可分析这些开关的变化,这里所提到的理论和方法同样也可用于分析特征方程与K(τ)形式相似的非线性动力系统,特别也适用于对系统的分岔理论研究。

[1]Y.Kuang.Delay Differential Equations with Applac tions in Population Dynamics[M].Boston:Academic Press,1993

[2]J.Hale,S.M.Verduyn Lunel.Introduction to Functi onal Differential Equations[M].New York:Spring-Verlag,1993

[3]郑祖庥.泛函微分方程理论[M].合肥:安徽教育出版社,1994

[4]Wang Wendi and Tang chunlei.Dynamics of delay population model with feedback control[J].Austral.Math.Soc,2000,(41):451-457

[5]Beretta E.,Kuang Yang.Geometric stability switch criteria in delay differential systems with delay dependentparameters[J].SIAM J.Math.,2002,(33):1144-1165

Stability switch of a special class dynamics of delay model

ZUO Hong-kun

In this paper,analyzing characteristic roots of linear variation equations with respect to the equilibrium by using lyapunov method,stability switches are attained and a numerical test is given for illustrating the main results.

stability switch; equilibrium;lyapunov function;numerical solution

O193

A

1009-9530(2012)03-0001-03

2012-02-17

安徽省高等学校青年科研资助基金(2005jq1139)

左宏坤(1976-),男,淮南师范学院数学与计算科学系讲师,研究方向:非线性动力系统的分岔理论。

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