探究立体几何课程学习的有效方法

高长玉

（淮南市第二中学，安徽 淮南232001）

探究立体几何课程学习的有效方法

高长玉

（淮南市第二中学，安徽 淮南232001）

立体几何是培养学生逐步形成空间想象能力的主要载体，在实践的基础上总结了立体几何学习的九种方法。

立体几何；学习方法

一、引言

立体几何是培养学生逐步形成空间想象能力的主要载体。很多人在学习立体几何时感到困难，主要是因为没有掌握有效的学习方法。“工欲善其事，必先利其器”。笔者在教学实践基础上提出九个方法，以供商槯。

二、学习立体几何的有效方法

1.画

对于一个空间几何体，想象其空间图形并画出来，对学习立体几何是非常有益的，要让所画（或所看到）的“立体”图形，真正地在脑海中“立”起来。否则对于类似下面简单的问题也会得到错误的答案。

如图 1， α∩β=AB，AC⊂α，BD⊂β， 若∠1=∠2，则AC∥BD。这种让人啼笑皆非的答案，正是缺乏空间观念导致的。

图1

图2

2.拉

根据“长对正，高平齐，宽相等”，不难由几何体画出相应的三视图，但往往难以由三视图想象出相应的几何体。如下面的问题：

某几何体的三视图如图2（尺寸长度单位为m），则该几何体的体积为＿＿m3。

事实上只要以俯视图为突破口，抓住关键的点或线拉一拉，几乎所有三视图的问题甚至勿需画图即可解决。如本题中把俯视图中A点沿着垂直于纸面方面拉一拉，拉起来的高度为2；并且俯视图是底边长为4，高度为3的三角形，求其体积便是一件很自然的事情。

3.记

概念、公理、定理自然要记，但一些重要的中间结论同样也要记。只是不能死记，要在理解的基础上去记。有时，利用这些结论可以很快地解决一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择题或填空题时。对于解答题虽然不能直接运用这些结论，但我们可以把这些结论先证出来再加以运用。如数一个几何体有多少对异面直线，往往数一个几何体有多少个四面体（因为四面体模型中有三对异面直线）就可以了。

4.辩

一个命题由平面过渡到空间，正确的要能证明，错误的要举出反例。即便都是空间的命题，有些比较相近的内容也容易混消，因此学习时一定要辩一辩，彻底地弄明白，不留死角，不留盲点。

如“平行于同一条直线的两条直线平行”与“垂直于同一条直线的两条直线垂直”；又如在证明一个几何命题时，什么时候用判定定理，什么时候用性质定理，都要用心辨别。一般而言，由未知，想判定；由已知，想性质。

5.嵌

有没有把一个非标准的几何体嵌入到标准的几何体（如：长方体）中的意识，涉及到我们有没有转化与化归的数学思想。如：

如图3，正四面体ABCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题中，错误的是（）

A.O-ABC是正三棱锥

B.OB∥面ACD

C.AD与OB成450

D.二面角D-OB-A为450

图3

图4

本题若直接计算，将费时费力。如果将所给的四面体嵌入到正方体OAEB-CFDG（如图4）中，很快就会选出正确答案（B）。

6.猜

猜想能激发学生的求知欲，猜想正确时会感受到猜想的乐趣，享受到成功的喜悦，学生会以更大的热情投入新知的探求中。在教学过程中通过适时、适度的引导，启发学生猜想，可以将新知纳入到整个知识体系之中。

7.变

有些学生时常满足一知半解，做题时照葫芦画瓢，不能领会实质，不能掌握解决该类题的通性通法，这与近几年高考的要求是相左的。因此必须从题海中解脱出来，要学一题，得一法，会一类。如人教版数学课本《必修2》第二章复习参考题B组第2题：

如图5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：

（1）B1D⊥平面 A1C1B；

（2）与平面 的交点H是△A1C1B的重心（三角形三条中线的交点）。

本题由两问组成，显然是为了控制难度，尤其是第一问证出以后，很容易得到H是△A1C1B垂心的结论，而△A1C1B又是正三角形，为第二问的解决铺平了道路。但本题是课本复习参考题中的最后一题，作为本章的压轴题，如果至此结束，对学生思维能力的提高以及空间想象能力的形成都是一种遗憾。我们不妨将其变一变：

图5

图6

如图6，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，请问：

（1）B1D⊥平面 A1C1B 吗？

（2）B1D与平面A1C1B的交点H是△A1C1B的重心吗？

以上两问，如果正确，给出你的证明；如果不正确，说明理由。

事实上，第（1）问是一个假命题，是想让同学们知道如何说明一条直线与一个平面不垂直；而第（2）问正是基于通性通法而考虑的，怎样正确作出B1D与平面A1C1B的交点H是解决本题的关键。我们可以这样思考：点H一定要变成同一平面内两条直线的交点，那么就要在含B1D的面中寻求另一条直线。我们自然想到平面BDD1B1，如图7，不难发现平面BDD1B1与平面A1C1B有两个公共点B、O1（为了便于学生观察，平面BDD1B1用红色，平面A1C1B用蓝色，姑且称B、O1为双色点），显然B、O1是这两个平面的交线，而易知点H是这两个平面的公共点。因此，H⊂BO1且BO1∩B1D；接下来，BO1是△A1C1B的中线且BH=2HO1都是很显然的。就这样，从已知到未知，又从未知到已知，寻求正反两方面知识衔接点之间的一个固有的或确定的数学关系，使问题得以顺利解决。

图7

8.换

波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程，对一个数学问题，改变它的形式，换一种叙述方式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是解题的一个重要原则。”例如下面一道求直线与平面所成角的问题：

如图8，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求BB1与平面BC1D所成角的正切值。

图8

思路一：可以利用VB1-BDC1=VD-BB1C1求点B1到平面BDC1的距离，把问题换成求直线与平面所成角的正弦值；

思路二：也可以把“求BB1与平面BC1D所成角的正切值”换成“求CC1与平面BC1D所成角的正切值”，这样一来三棱锥C-BDC1正是长方体一角模型，由直角顶点向底面作高，同学们非常熟悉；

思路三：注意A1C到与平面BC1D垂直的事实，本题也可换成求异面直线BB1与A1C所成角的问题。

可以看出，通过不断转换命题的形式，把它转化为一类已经解决或是较容易解决的问题，可使问题由繁变简，由难变易，由暗变明。

9.算

立体几何计算题，单纯的计算往往无济于事，必须辅之必要的空间想象及必要的逻辑推理。

如图9，设ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为2的正方形，点 M 是 AB的中点，过 M、B1、C、D1四点作一个球，则该球的半径为 。

如果能建立空间直角坐标系如图10，设球心O 的坐标为（x，y，z），因为|OM|=|OB1|=|OC|=|OD1|，利用空间两点之间的距离公式不难解决；但如果能注意到球心在 AC1上，故可设球心O的坐标为（t，t，t），则只需要利用|OM|=|OB1|即可解决。

图9

图10

三、结语

以上笔者提出了9个方法学习立体几何这些方法已经在长期的教学实践中得到检验。当然，学好立体几何还要注意与其它知识的有机联系。不过九九归一，学之道在于悟。只善于思考，善于总结，落实一个“悟”字，才能真正领会和掌握这些学习方法的精髓。

[1]郑强，邱忠华.走进高中数学教学现场[M].北京：首都师范大学出版社，2008

G633.63

A

1009-9530（2012）03-0140-03

2012-03-17

高长玉（1962-），男，淮南市第二中学特级教师。