盈不足术的思想和方法

柴 学 林

(兰州职业技术学院，兰州 730070)

盈不足术是我国数学史上解答应用题的一种方法，它是我国古代数学著作《九章算术》中的重要章节之一。盈不足术问题就是我们常说的“盈亏问题”的一般情况。许多数学史家的研究表明，盈不足术的方法在解答应用题中，有其应用的广泛性。它既给出了线性问题的精确解，又给出了非线性问题的近似解，在古代算法中确实称得上是“万能”的解题方法。研究“盈不足术”的思想和方法，对认识我国古代数学的伟大成就具有重要的意义，同时也可探视现行数学解题思路的渊源。

1 盈不足术与它的数学模型

《九章算术》中的盈不足术是以“共买物”问题为例给出的。我们先看一道例题，并注意解题过程中的一些思维方法。

例1：今有共买物，人出八(钱数)，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？(《九章算术》卷第七，盈不足，第1题)

根据《九章算术》中的盈不足术的思想，其解答方法可以表达为：

所以，人数为7，物价为53。

上面用盈不足术进行解题时，“维乘”是指：8×4=32，7×3=21；“相并”是指：32+21=53，3+4=7。而物价应该理解为：53÷(8-7)=53；人数应该理解为：7÷(8-7)=7。

这样，计算人数的表达式是：7÷(8-7)，也就是(3+4)÷(8-7)。这正是我们现在解答“盈亏问题”时的思路。所以，《九章算术》中的这一古算法的思想一直流传至今，对我国古今数学教育都有很深刻的影响。

在例题1中的已知数出现的是一次“盈”、一次“不足”(即就是“亏”)。如果以这种“盈亏问题”为特例，那么就可以建立如下的数学模型：

今有共买物，人出x1(钱数)，盈y1；人出x2，不足y2。问人数、物价各几何？

盈不足术的解答方法为：

(1)

在《九章算术》中，x1、x2称作所出率，所出率的“以少减多”是指：若x1>x2，则x1-x2；若x1

(1′)

盈不足术公式(1)和公式(1′)是怎样推导出来的呢？根据李继闵(1938—1993，生前任西北大学数学系教授)的观点，是在“比率算法”(《九章算术》中盈不足术以前的一种古算法)的基础上，为突破比率算法的局限性而创造的一种新的解题方法[1]266。实际就是现在的直线内插法的思想在比例关系中的应用。

从例1的数学模型中，可以看出，要求每人应出的钱数x0，就是求应用题中满足“不盈不亏”的一个正数。根据古人把问题的有关数据按一定顺序排列起来，研究比率关系的方法，我们可以把“每人出钱x1，买物1，盈钱y1；每人出钱x2，买物1，不足钱y2”的问题，按其数据排列为下面的形式，再由成正比例量的关系，把第一列的数分别乘y2，把第二列的数分别乘y1，问题就可以转化为：“每人出钱x1y2，买物y2，盈钱y1y2；每人出钱x2y1，买物y1，不足钱y1y2”的问题，再进行计算。

(2)

2 盈不足术的解题思想

《九章算术》中的盈不足术的解题思想，不限于对例题1的那种类型的应用题进行求解。我们知道，一般的应用题，其答案是确定的一个数。如果我们以事先设定的一个数作为其答案，那么就可以根据题意进行假设试验，若假设实验的数据正好合适，则这个数就是答案；若假设实验的数据不合适，则与题目中的已知数相比较出现的不是盈就是不足。通过两次假设，就可以得到两个盈数或亏数。从而，一般的应用题都可以转化为盈不足问题进行解答。所以，盈不足术的解题思想和方法被称为“双设法”，后来一直被欧洲人称为“双假位法”[1]263。

利用盈不足术解一般应用题的思路框图为：

(3)

例2：今有漆三得油四、油四和漆五。今有漆三斗，欲令分易油，还自和余漆。问出漆、得油、和漆各几何？(《九章算术》卷第七，盈不足，第15题。)

分析与解：斗是古代的体积单位，三斗就是30升。把这道题用现代话说就是：已知三份漆可以换得四份油，四份油可以调和五份漆(都是按体积计算)。现有30升漆，如果用其中一部分去换油，换来的油又去调和余下来的漆。如果刚好把漆用完，问用去换油的漆有多少升？换得了多少升油？这些油又调和了多少升漆？

我们用盈不足术的解题方法“双设法”来思考解答。假设取出9升漆，9÷3=3，可以换得油：4×3=12(升)，用12升油就可以调和漆：5×3=15(升)；9升漆和15升漆相加得24升漆，比原有的30升漆少6升，也就是不足6升。同样，再假设取出12升漆，用12升漆去换得16升油，则可以调和20升漆；12升漆加20升漆得32升漆，比原有的30升漆多2升，也就是余2升漆。这样问题就变成了盈不足问题。简单地表示如表1：

表1

出漆(升)得油(升)和漆(升)与30升相比较91215不足6121620盈2

这是一道数量关系为线性关系的应用题。现在的解法当然是思路自然，推理清楚，方法简单。但是用盈不足术的方法解答，通过假设试验，按固定的模式计算出了精确结果，其解题思路是很有特色的。

3 盈不足术的现代解释

前面提到，盈不足术是基于“比率关系”，即比例关系和直线内插思想的产物。下面我们用现代数学知识来研究盈不足术，从而进一步明确和理解它的数学思想和方法。

(1)对线性问题的讨论。

设函数f(x)=kx+b，是应用题中数量之间的关系，求满足应用题条件的数x0，就是求函数f(x)=kx+b与x轴的交点横坐标x。如图所示，根据比例关系有：

(5)

(6)

把盈数记为正，不足数记为负时，由于y1<0，因此-y1>0，那么(6)式正就是(1)式的求解的形式。

如果设盈不足y是每人出钱数x的函数，那么有y=Bx-A，其中A为物价数，B为人数。因而根据(5)式或(6)式，例1的解题方法就是：

由于钱数之差等于每人出钱数的差与人数的乘积，而且x1>x2，因此有，y2+(-y1)=B(x1-x2)，所以，就可以求出物价与人数：

所以，如果我们用正、负数分别表示盈数和亏数时，盈亏问题的求解公式可以统一为下面(5′)的形式：

(5′)

如果不用正、负数的记法，那么在“一次盈一次亏”的问题中，用相并(相加)的思想求解；在“两次都盈”或“两次都亏”问题中，用相减(即“以少减多”)的思想求解。这样盈不足术就可适用于任何情况了。

(2)对非线性问题的讨论。

设函数y=f(x)是非线性函数，在区间[x1，x2]上连续，并且有f(x1)f(x2)<0，因此函数y=f(x)在区间[x1，x2]上至少有一个根x0，使f(x0)=0，由此以(x2，y2)、(x1，y1)为端点的直线段L，是函数y=f(x)的一条弦。如图所示，弦直线L的方程是：

因此有：

再根据前面线性问题的讨论知道，弦直线L与x轴交点的横坐标为：

(7)

4 用盈不足术解现行数学问题

例3：鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来足有一百只，几只鸡几只兔？

分析与解：假设有36只鸡，足数就有2×36=72(只)，足数不足100-72=28(只)；假设有15只鸡，足数就有2×15=30(只)，因此兔就有36-15=21(只)，足数有4×21=84(只)，共有足数30+84=114(只)，足数盈114-100=14(只)。根据盈不足术有：

因此，鸡是22只，兔是：36-22=14(只)。

答：鸡是22只，兔是14只。

这个数学问题是“鸡兔同笼”问题，先用两次假设，转化为“一盈与一不足”问题，然后用盈不足术进行解答。

例4：甲、乙两人在相距360米的两点同时出发，相向而行，甲每分钟行40米，乙每分钟行50米。多少分钟后甲、乙两人相遇？

分析与解：假设2分钟后甲、乙两人相遇，则行了(40+50)×2=180(米)，比360米少180米。就是不足180米；假设3分钟后甲、乙两人相遇，则行了(40+50)×5=270(米)，比360米少90米，就是不足90米。根据盈不足术有：

答：4分钟后甲、乙两人相遇。

例5：甲每小时行10千米，乙每小时行8千米。甲、乙两人同行一段路，乙比甲多用了3小时，这段路长多少千米？

分析与解：按盈不足术进行两次假设检验，如表2，然后根据盈不足术进行解答。

表2

假设路程甲所用时间乙所用时间乙比甲多几小时与“乙比甲多3小时”比较40千米4小时5小时1小时不足2小时80千米8小时10小时2小时不足1小时

答：这段路长120千米。

这两个例子都是一般的行程问题，也可以用盈不足术进行解答。

盈不足术以其特定的数学模型，可以解答各种数学问题。这种在解题过程中，既有假设检验，又有推理分析，并且注重演算程序化、模式化的思想和方法，在数学理论中尤其是在远古时期的数学理论中是一种很有价值的解题方法。用盈不足术解答数学问题，规律性强，演算程序化，适用范围较大，对研究数学解题策略和方法有一定启发性。

参考文献：

[1]吴文俊.《九章算术》与刘徽[M].北京：北京师范大学出版社，1982.

[2]傅敏，王仲春，等.数学教学研究新论[M].成都：电子科技大学出版社，1995：56～60.

[3]郭金彬.刘徽“术”中求术的方法和技巧[J].自然辩证法通讯，2004，(5)：86～87.