ZK-MEM方程的多辛Preissmann格式

王俊杰,王连堂,杨宽德

(1. 普洱学院数学系,云南 普洱 665000;2. 西北大学数学系，陕西 西安 710127)

ZK-MEM方程的多辛Preissmann格式

王俊杰1,2,王连堂2,杨宽德1

(1. 普洱学院数学系,云南 普洱 665000;2. 西北大学数学系，陕西 西安 710127)

ZK-MEM方程作为一类重要的非线性方程有着许多广泛的应用前景,基于Hamilton空间体系的多辛理论研究了ZK-MEM方程的数值解法，讨论了利用Preissmann方法构造离散多辛格式的途径,并构造了一种典型的半隐式的多辛格式,该格式满足多辛守恒律、局部能量守恒律.数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性.

Hamiton系统；Preissmann格式；多辛算法；ZK-MEM方程

0 引 言

由冯康先生开创的Hamilton系统的辛几何算法发展至今,在理论上已较为完善.由于这一算法具有长时间的数值稳定性,能够很好地保持Hamilton系统的辛几何结构的性质,在现代物理学和力学研究中发挥着重要作用.在实际研究与实践中,有许多问题需要进行长时间的数值模拟计算,因此,对具有长时间数值行为的辛算法的研究具有重要的理论与实际意义.近年来，孤立波方程定解问题的研究一直是科学研究的一个热门课题，取得了丰硕的研究成果.在许多物理领域具有重要意义.本文研究一类具有重要意义的ZK-MEM方程：

ut+a(u3)x+(buxt+ruyy)x=0,

(1)

本文在第二节里验证了变ZK-MEM方程组具有Hamilton多辛格式，并证实此格式具有多辛守恒律、局部能量守恒和动量守恒.第三节给出了ZK-MEM方程的离散多辛Preissmann格式，并证实此格式在离散格式下仍保持多辛守恒律.在第四节给出了一个数值模拟，验证了本文的算法不仅简单，而且有长时间的稳定性.

1 ZK-MEM方程的多辛形式及守恒律

根据Bridges关于多辛的定义,一切耗散效应可以忽略的方程都可以写成下列哈密顿偏微分方程的形式[1-8]:

Mzt+Kzx+Lzy=▽zS(z),

(2)

其中M,K,L∈Rn×n(n≥3)是反对称矩阵.

S:Rn->R,

是光滑函数，称为Hamilton函数.▽zS(Z)为函数S(z)的梯度.

满足多辛守恒律：

(3)

具有能量守恒律：

(4)

对系统(2)，引入正则动量：

ut=-2px,ut=w,ux=v,uy=φ,u=ψx,

方程(1)可以变为等价的哈密顿偏微分方程的形式

(5)

定义状态变量：

z=(ψ,u,v,w,φ,p),

可以把方程(5)写成哈密顿偏微分方程的形式(2),其中：

方程(5)满足多辛守恒律(3)其中：

方程(5)具有能量守恒律为(4)其中:

2 多辛Preissmann格式及离散守恒律

多辛形式的一个重要性质是：它的局部守恒的概念.多辛是Hamilton偏微分方程的一个几何性质，我们用数值方法模拟多辛偏微分方程时，自然希望能反映这个性质.基于这个想法，Bridges和Reich引入了多辛积分的概念，即一种能保持多辛守恒律的离散数值方法.

求解多辛Hamilton系统(2)离散格式可表示为

(6)

其中：

定义1 称数值方法(6)为多辛积分，如果其满足如下离散多辛守恒律

(7)

其中：

在进行数值求解偏微分方程组(5)希望我们构造的数值方法严格满足上述守恒律，即具有多辛性质.首先对多辛偏微分方程组进行离散，本文采用Preissmann格式对偏微分方程组(5)进行离散:

(8)

定理1 离散格式(8)是多辛格式，且保持下面的离散多辛守恒律：

(9)

其中：

(10)

证明对方程(6)变分可以得到(6)的变分形式为：

(11)

我们可以得到离散守恒律(9).

对非线性Hamilton系统，离散局部能量和动量守恒律不能精确满足，但是可以定义下面局部能量误差.

定义2 记：

(12)

称RE是局部能量误差.

其中：

3 数值计算

为了说明多辛方法的诸多优点,本文用中心Preissmann多辛格式，并以此离散ZK-MEM方程.

考虑下面ZK-MEM方程初值问题：

(13)

情形1 当取定参数a=2,b=1,r=3，初值函数可表示为

则初值问题(13)具有如下孤子解

(14)

取时间步长Δt=0.01空间步长Δx=0.01,Δy=0.01，利用中心Preissmann多辛格式,在区间x∈[-20,20],y∈[-20,20]内模拟孤子解(14),得到ZK-MEM方程(1)的数值解.数值解(14)的演化过程如图1,同时图3给出了t∈[0,20]时段内的局部能量误差.

其中：a=2,b=1,r=3图1 数值解u随时间的演化图Fig. 1 The wave form of the numerical solution u

其中：a=2,b=1,r=3图2 精确解u随时间的演化图Fig. 2 The wave form of the exact solution u

图3 局部能量误差Fig. 3 The errors of the conservation laws

从以上数值结果我们发现,利用本文构造的多辛中心Preissmann多辛格式模拟的孤子解(14),得到的波形和波速都不随时间变化而变化,这说明多辛格式能够很好的保持孤子解的基本几何性质，并具有良好的长时间数值行为.

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Multi-SymplecticPreissmannSchemeforZK-MEMEquation

WANG Jun-jie1,2, WANG Lian-tang2, YANG Kuan-de1

(1.Mathematics Department of Puer University, Pu’er 665000, China;2.Mathematics Department of Northwest University, Xi’an 710127, China )

ZK-MEM equation is a typical nonlinear wave equation with a very wide range of applications. Basing on the multi-symplectic algorithm in Hamilton space systrem, the paper researched on the numerical solutions for ZK-MEM equation, discussed the methods of constructing the discrete multi-symplectic scheme with Preissmann method, and presented a kind of typical semi-implicit multi-symplectic scheme, which satisfied with multi-symplectic conservation laws and partial energy conservation law. The results of numerical experiments show that the discrete multi-symplectic scheme has better long-time numerical stability.

Hamilton systrem; Preissmann scheme; multi-symplectic algorithm; ZK-MEM equation

2012-03-27

王俊杰(1981—)，男,讲师，硕士，主要从事偏微分方程研究.E-mail：wangjunjie6688@sina.com

11.3969/j.issn.1674-232X.2012.05.014

O29MSC2010: 65Nxx

A

1674-232X(2012)05-0453-06