基于非标准傅里叶变换光学编码技术的研究

王晓静，张 帅，王宇杰

（1.周口师范学院 物理系，河南 周口 466001；2.华北水利水电学院 机械学院，河南 郑州 450011）

在日常工作和生活中，加强存储中信息和数字图像通信的安全越来越重要，如身份证的防伪条码和一些重要文件的网络传输等都涉及到图像加密.光学信息处理是近40多年来发展起来的一门前沿学科.它是在全息术、光学传递函数和激光的基础上，从传统的经典波动光学中脱颖而出的，是信息科学的一个重要组成部分，也是现代光学的核心.近年来，作为光学信息处理的重要研究内容之一，光信息编码和图像处理发展迅速，逐步展示出其在信息安全领域中广阔的应用前景.利用分数傅里叶变换、分数小波变换、哈特莱变换等光学变换的相关特性，大量关于光学信息处理技术方面的研究结果已经不断被报道，并且被直接应用于信息防伪与信息加密.在图像加密的研究上，最具代表性的是Javidi等人提出的双随机相位编码技术［1］，在空域和频域分别用两个随机相位掩膜对原图像编码，编码图像是复振幅白噪声.目前，讨论较多的是双随机相位编码加密技术.该技术是采用4f系统来实现：把两块统计无关的随机相位掩模RPM1和RPM2分别置于4f系统的输入平面和傅里叶频谱平面，分别对原图像f（x，y）的空间信息和频谱信息作随机编码，达到加密的目的.由于该技术具有较高的安全性能，引起了世界上许多国家科研人员的兴趣和注意.随着现代科学的日新月异，人们对大量信息传输需求与日俱增，网络正逐步趋向普及化，在给予人们便捷的同时也带来了一定的安全隐患.如何防止信息的盗用和窃取，保护个人隐私，已经成为备受关注的热点话题.许多国家的科研人员纷纷投入这一研究领域，积极寻求各种有效的技术手段和信号处理方法.本文主要讨论了基于非标准傅里叶变换编码技术，侧重研究了它们在光学图像信息编码中的应用，发现它们在图像加密领域可以起到提高信息安全性能的重要作用，具有潜在的应用价值.

1 研究方法及基本理论

图1是基于4f系统的双随机相位编码光路图，即把两块统计无关的随机相位掩模RPM1和RPM2分别置于4f系统的输入平面和傅里叶频谱平面，分别对原图像f（x，y）的空间信息和频谱信息作随机编码，达到加密的目的.

图1 基于4f系统的双随机相位编码光路图

如图1两个透镜L1和L2成共焦组合，L1的前焦面（x，y）为物平面O，图像由此输入.L2的后焦面（x3，y3）为像平面I，图像在此输出，共焦平面（ξ，η）称为变换平面T，在此可以安插各种结构和性能的屏（空间滤波器）.

在物平面O上，U0（x，y）∝t0（x，y）；设在变换面T上tT（ξ，η）＝1，从而U2（ξ，η）＝U1（ξ，η），记做UT（ξ，η）；在像平面I上复振幅分布为UI（x′，y′）.在两次夫琅和费衍射过程中，复振幅的变换都是傅里叶变换：

即输出图像与输入图像完全一样，在式（1）中，x′，y′前的负号只表示像是倒立的.

2 非标准傅里叶光学系统

正透镜除了具有成像性质外，还能作傅里叶变换，正因如此，傅里叶分析方法在光学中得到广泛而成功的应用.在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚中心的观察屏上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数的傅里叶变换（除一相位因子外）.

图2 单透镜滤波系统

另外，介绍一类典型的滤波系统，这一种系统结构简单，但在面上给出的物体频谱都不是物函数准确的傅里叶变换，而附带有球面相位因子.

对于非标准傅里叶变换，其中光源S和频谱面互为物像共轭关系，即

可以看出，该系统的频谱面的位置不是固定的，随透镜的焦距f和点光源与透镜的距离p的变化而变化.如果把相位掩模置于该系统的频谱面上，则相位掩模的纵向位置以及透镜的焦距也将成为密匙.设整个系统输入面的坐标为（x1，y1），频谱面空间坐标为（x2，y2），输出面的空间坐标为（x3，y3）.RPM1和RPM2分别为独立的随机相位函数exp［jn（x，y）］和exp［jb（ξ，η）］.照明光源和频谱面共轭，物面和像面形成另一对共轭面.系统加密时，待加密图像U1（x1，y1）与exp［jn（x1，y1）］相乘完成空域编码，然后经透镜做傅里叶变换，相当于物在透镜前的傅里叶变换，可得傅里叶频谱面上的光场分布：

可见傅里叶变换有一个二次相位因子.观察面上的空间坐标和空间频率关系为

原式可以简化为U（ξ，η）与第二块相位掩模exp［jb（ξ，η）］相乘完成频域编码，再经过透镜作傅里叶变换，相当于物在透镜后的傅里叶变换，最后可得输出平面上的光场分布：

观察面上的空间坐标和空间频率关系为

公式（4）可简化为

显然，式（5）是一个随机白噪声，可作为最后的加密图像.

同理，如果解密时p1和q1的大小与加密时不一致，将不能恢复原图像.另外，用1个对称的标准傅里叶变换系统获得U（x1，y1）与exp［jn（x1，y1）］的乘积，就必须设法抵消相位因子（ξ2＋η2）］.由于透镜的透过率函数exp［±πi（x2＋y2）／λf］与该相位因子具有相同的形式，因此比较式（5）可知，用1个透镜抵消此相位弯曲，如果f和p2未知，则不能抵消这个弯曲.因此，只能利用光路的可逆性解密和加密图像.

3 小结

介绍了一种不同的非标准透镜傅里叶变换，引入了非标准傅里叶变换形式，提出了将非标准傅里叶变换系统用于信息编码，同时结合Javidi提出的双随机相位编码原理，将这种加密变换应用到图像编码中，并提出了相应可行的光学实现装置.由于点光源照射傅里叶变换系统的输入面和频谱面不对称，而且它的频谱面位置依赖于点光源的相关参数，所以，当把相位掩膜置于它的频谱面上时，相位掩膜的纵向位置以及透镜焦距也成为密钥，这大大增强了系统的安全性能.从理论上推导了非标准傅里叶变换的光场形式，就单透镜非标准傅里叶变换、双透镜非标准傅里叶变换、还有与标准傅里叶变换结合的非标准傅里叶变换一种不同变换形式的光场作了具体分析.

［1］Refregier P，Javidi B.Optical image encryption based on input plane and Fourier plane random encoding［J］.Opt.Lett.，1995，20：767.

［2］Unnikrishnan G，Joseph J，Singh K.Optical encryption by double－random phase encoding in the fractional Fourier domain［J］.Opt Lett.，2000，25：887.

［3］Hennelly B，Sheridan J T.Optical image encryption by random shifting in fractional Fourier domains［J］.Opt.Lett.，2003，28：267－269.

［4］Hennelly B，Sheridan J T.Fractional Fourier transformbased image encryption：phase retrieval algorithm［J］.Opt.Commun.，2003，61：226－228，

［5］Zhu B H，Liu S T，Ran Q.Optical image encryption based on multifractional Fourier transforms［J］.Opt.Lett.，2000，25：56－59.

［6］Liu S T，Mi Q L，Zhu B H.Optical image encryption with multistage and multichannel fractional Fourier－domain filtering［J］.Opt.Lett.，2001，26：32－42.

［7］Liu S T，Yu L，Zhu B H.Optical image encryption by cascaded fractional Fourier transforms with random phase filtering［J］.Opt.Commun.，2001，187：56－57.