在自然的思考过程中催生“新想法”——“数学归纳法”第一课时赛课后的讨论及教学改进建议

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(丽水市教研室 浙江丽水 323000)

●江建国

(丽水学院附属高级中学 浙江丽水 323000)

在自然的思考过程中催生“新想法”
——“数学归纳法”第一课时赛课后的讨论及教学改进建议

●施仁智

(丽水市教研室 浙江丽水 323000)

●江建国

(丽水学院附属高级中学 浙江丽水 323000)

1 背景介绍

2011年5月，丽水市青年教师优质课比赛在缙云中学举行，9位教师就“数学归纳法”第一课时(高中数学人教A版2-2)为观课的同行奉献了精彩的9节课，选手们的课堂教学得到了评委们的认可，但美中也有不足：其一，引入的问题是否一定要“难住学生”；其二，问题引入到演示实验如何更加自然.笔者在赛课结束后，对这2个问题进行了思考，不妥之处请批评指正.

2 数学归纳法教学的三部曲

9位教师对数学归纳法第一课时的教学处理，剔除技术细节，凸显教学枝干，就会发现设计思路基本一致，都是围绕“引入问题、类比探究、技能训练”这3个环节展开.归纳猜想不能保证结论的正确性，怎么办——引入问题；为寻找新方法，演示实验，从中发现归纳法原理——类比探究；强调原理要点，应用原理解决问题——技能训练.

2．1 设置认知冲突，引入问题

9位教师引入的问题都回避了课本问题，选择了比课本问题难度更大的问题，下面摘录其中一位教师的引入.

解易知a2=3,a3=4,a4=5,猜想an=n+1.

师:猜想的结论正确吗？

生：不一定.

师：要证明猜想的正确性，请大家先看实验，能不能从中受到启发，找到证明的方法.

在问题引入环节中，教师的指向性非常明确，那就是：归纳猜想得到的结论不可靠，为了证明猜想的正确性，要寻找新的证明方法，为寻找新的证明方法，请大家先看演示实验.

2．2 实验演示，类比探究得出原理

9位教师中有8位是用多米诺骨牌视频进行演示，另一位教师用自行车棚里一排自行车依次倒下的视频演示实验.学生观看并思考2～3分钟后，教师开始提问，引导学生把观察到的实验现象类比到数学证明中去，探寻新的证明方法，师生间交流如下：

师：要使所有骨牌倒下应具备哪些条件？

生：必须具备:(1)第1块骨牌倒下；(2)前一块骨牌倒下，能带动后一块骨牌倒下.

师：(以引入案例为例说明)要确保我们猜想的结论an=n+1正确，类比骨牌倒下的条件，必须满足哪些条件？

生：(1)a1=2=1+1；(2)若an=n+1,能推出an+1=(n+1)+1.

师：把所有骨牌倒下的条件类比到数学问题中，我们会发现它们之间的关系如表1所示(师生共同完成).

表1 多米诺骨牌游戏原理与数学归纳法

这一方法还可以类比到证明与自然数有关的命题中去，这就是我们今天要学习的数学归纳法，即：证明一个与正整数有关的命题，可按以下步骤进行：

(1)当n取第1个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立；

由(1)，(2)可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

2．3 解读原理，问题训练，形成技能(略)

2．4 课堂小结(略)

2．5 教学过程不自然

不合逻辑的认知导致教学过程不自然，“猜想的结论不可靠，我们就要寻找新的证明方法，为寻找新的证明方法，大家请看实验……”结论是否可靠需要进行证明，证明不一定要寻找新的证明方法，只有当已有的方法无法解决时才考虑寻找新的方法，要寻找新的方法首先要调动的是已有的知识储备，而不是看实验.当从已有的知识储备中无法得到启示，需要查阅资料，探寻相关问题的解决方法，而不是突兀地看实验.从认知上说，思维生长不自然，实验演示又显得突然，貌似环环相扣的环节其实经不起推敲，学生在教师的牵引下盲目前行.“学生思维起点在何处？要引导学生思维走向何处？思维过程中的障碍在何处？”这3个基本问题是教师在教学过程中必须要考虑的，否则只能是“拽着学生跟着老师走，大步往前不回头”.

3 数学归纳法教学的改进建议

3．1 教学起点分析

归纳猜想得到的结论不可靠是学生进一步探求问题证明的学习动力，学生已具备的抽象能力是化无限为有限的认知基础，算法程序中的循环语句是学生把具体问题抽象化的操作基础,生活经验的支撑是克服理解困难的基础.

正确的猜想可以无限验证下去，有限的生命面对无限的验证怎么办？学生即使用其他方法解决了提出的问题，对无限能不能化为有限也是很自然的思考，这种想法是数学归纳法的萌芽.要想解决无限化为有限的问题，既要跳出问题之外，寻求经验支持，还要深入问题之中，探寻问题的本质.算法程序中的循环语句、线面垂直判定定理、多米诺骨牌游戏等都是可以借鉴的经验.提出归纳法的基本步骤后，对其正确性依然持怀疑态度，生活经验是帮助学生克服理解困难的基础.

3．2 改进后的设计思路

3．2.1 问题引入

猜想可以发现新结论，证明才能确保结论的正确性，猜想是否正确还需要进行证明，让学生尝试去证明.

(给学生3分钟的时间，因为构造等差数列比较容易，大部分学生能完成问题的证明.)

3．2.2 反思探究，催生新想法

在逐项验证过程中要求a2必先知道a1，要求a3必先求什么？要求a6必先求什么？要求ak+1必先求什么？求a2,a3,a4,a5,…本质上有什么差别吗？

(提问时稍作停顿，留待学生思考.)

改变a1的值上述循环还能进行下去吗？a1与a2,a3,a4,a5,…的地位相同吗？它相当于算法中的什么？要是能用有限的几步验证确保无限步验证的正确性，你认为至少包括哪几步？

3．2.3 经验支撑，形成原理

反之，当(1),(2)都成立，能确保命题成立吗？有没有类似的生活经验支持你的猜想？引导学生回忆生活中的类似经验：(1)父亲姓周，(2)儿子随父亲姓，则其儿子、孙子……都姓周.演示多米诺骨牌游戏：(1)第一块骨牌倒下，(2)前一块骨牌倒下能推倒后一块骨牌，则所有骨牌都会倒下.

这种解决问题的方法能推广到其他数学问题中去吗？要是能推广，它适用哪一类数学命题？

(师生共同探讨完成，加深理解.)

这种解决问题的方法我们称之为——数学归纳法，其具体的表达形式请大家翻开课本……

4 2点思考

4.1 原理引入要体现其自然的、水到渠成的思维过程

人教A版教材主编寄语“数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的”.自然主要表现在：(1)数学命题无数，但作为公理、定理的不多，这些命题之所以作为公理、定理是有其必然性的，除了命题本身表述简洁、蕴含深刻的数学思想之外，也是最容易让人自然而然想到的问题；(2)作为公理、定理的命题在数学知识发展过程中是必须解决的问题，有其必要性；(3)统摄程度高，应用相对广泛.首先，数学归纳法从本质上来说是用有限解决无限的问题，当我们面对无限时该怎么办，解决的办法是发挥人的智慧，化无限为有限，用有限的步骤替代无限验证.

4.2 要重视原理形成过程对学生发展的长期影响

会使用工具的人掌握的是一种技能，会制造工具的人渗透的是一种思想.数学归纳法作为原理，具有高度的抽象性，学生在学习过程中即使会用数学归纳法解决一些问题，并不一定真正理解了它的意义.本节课的重点也是难点是理解数学归纳法的形成过程，要理解它的形成过程至少包含3个层面的含义：首先是“为什么”，既是探寻新方法的必要性、探索的动力所在，又是培养问题意识的重要资源；其次是“怎么办”，也就是方法怎么寻找，从哪儿入手，还是要回到问题中来，抽丝剥茧式地透过现象揭示本质，把一连串的重复验证行为抽象出来形成一个命题，是关键的步骤；再就是“怎么用”，是一个程序问题，适用范围是什么，具体使用时的操作程序、注意要点等，是培养学生技能的关键举措.

在现实课堂教学中，由于应试的需要，对技能的重视有过之而无不及，一大批解题高手也应时而生.而罔顾过程的完整性，也导致了学生提不出有新意的问题，面对新题束手无策，最终导致创新意识的缺失.

[1] 江建国，柳云，张娟萍.对话催生智慧 预设跨越障碍——数学归纳法教学简录及反思[J].数学教学研究，2010(6):18-20.

[2] 李渺，陈长伟.高效数学课堂教学行为研究[J].数学教育学报，2010,19(5):80-83.

[3] 吴佑华.有效变式：为数学课堂生成智慧溢彩[J].数学教学研究，2010(8):2-11.