错解立体几何题后的反思——利用错后反思提高学习效率

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(古邳中学 江苏睢宁 221241)

●武瑞雪

(城北中学 江苏睢宁 221200)

错解立体几何题后的反思
——利用错后反思提高学习效率

●沈恒颜

(古邳中学 江苏睢宁 221241)

●武瑞雪

(城北中学 江苏睢宁 221200)

学生在解答立体几何题目时，因解题不规范、空间想象能力差、“想当然”、概念模糊、考虑不周、误将平面几何中的结论类比到空间等，导致错误.下面列举几例，引导学生进行错解后反思，以帮助学生走出解题误区，提高学习效率.

图1

1 只计算不证明导致错误

例1如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E，F，G分别为棱AA1，AB，BC的中点，求二面角E-FG-A的正弦值.

错解作AH⊥FG，交FG的延长线于点H，联结EH.由△AHF∽△GBF，得

即

从而

反思在立体几何中求角或距离等问题，应做到“一作(或找)二证三求”.上述解答忽略了证明∠EHA就是二面角E-FG-A的一个平面角，应补上.

2 因画错图形而导致错误

在立体几何的学习中，部分学生因空间想象能力差，在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型，从而在做题时不会画图，甚至画出错误的图形，导致解题出错.

例2求半径为R的球的内接正方体的体积.

错解画出过球心的球的截面及相应的正方体的截面图(如图2). 设正方体的棱长为x，则

x2+x2=(2R)2,

解得

从而

图2 图3 图4

图5

3 “想当然”导致错误

例3由二面角α-l-β内一点A作AB⊥α于点B， 作AC⊥β于点C，若∠BAC=60°，求二面角α-l-β的大小.

错解如图5，过点B作BD⊥l于点D，联结DC.因为AB⊥α，AC⊥β，所以

AB⊥l,AC⊥l.

又因为AB∩AC=A，所以

l⊥平面ABC,而BD,CD⊂平面ABC,

从而

l⊥BD,l⊥CD，

故∠BDC为二面角α-l-β的一个平面角.由四边形的内角和为360°，∠ABD=∠ACD=90°且∠C=60°知∠BDC=120°，因此二面角α-l-β的大小为120°.

反思上述解法中想当然地认为BD⊂平面ABC，CD⊂平面ABC.事实上，应先证明A，B，C，D共面，但证明较麻烦.而下述解法可避免证明A，B，C，D共面.

正解设平面ABC∩l=D，联结BD,CD，则BD⊂平面ABC,CD⊂平面ABC.因为AB⊥α，AC⊥β，所以

AB⊥l,AC⊥l.

又因为AB∩AC=A，所以

l⊥平面ABC,

从而

l⊥BD,l⊥CD，

故∠BDC为二面角α-l-β的一个平面角.由四边形的内角和为360°，∠ABD=∠ACD=90°且∠BCA=60°知∠BDC=120°，因此二面角α-l-β的大小为120°.

4 概念模糊导致错误

一些立体几何题往往是围绕概念设置的，如对概念掌握不牢或理解有偏差，则往往容易出错.

图6

∠NEM=120°,

即异面直线AB，CD所成的角为120°.

反思上述解法忽视了异面直线所成角的范围为(0°，90°].

∠NEM=120°.

又异面直线所成角的范围为(0°，90°]，因此异面直线AB，CD所成的角为60°.

5 考虑不周导致错误

例5已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，则圆柱的体积是________.

错解由题意知圆柱底面周长为4，高为2，得

反思在解决该题时，因思维不全面而漏掉了“当圆柱底面周长为2，高为4”这种可能的情况.

6 误用平面几何中的结论导致错误

图7

例6如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，AB的中点，求证：四边形A1ECF为菱形.

错证因为正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别为C1D1，AB的中点，所以

△A1D1E≌△A1AF≌△CBF≌△CC1E，

从而

A1E=A1F=CF=CE，

故四边形A1ECF为菱形.

反思在空间几何中，当一个四边形的4条边相等时，此四边形不一定是菱形.如在正四面体A-BCD中，四边形ABCD的4条边虽然相等，但四边形ABCD不是菱形.上面的解法应补证四边形ABCD是平面四边形.

证明取A1B1的中点G，联结C1G，FG， 则C1E∥GA1且C1E=GA1，即四边形C1EA1G为平行四边形，从而

A1E∥GC1.

又因为GF∥B1B∥C1C，GF=B1B=C1C，所以

GF∥C1C，GF=C1C，

因此四边形C1GFC为平行四边形，即

GC1∥FC，

从而

A1E∥FC，

故四边形A1ECF是平面四边形.

事实上，一些命题在平面几何中成立，但在空间几何中不一定成立，举例如下：

(1)2组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(2)垂直于同一条直线的2条直线平行；

(3)过一点作直线的垂线有且仅有1条；

(4)到一条线段2端距离相等的点的集合是线段的中垂线.

而下面的几个结论在平面几何和空间几何中均成立：

(1)2条边对应相等的2个三角形全等；

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(3)一组对边平行且不相等的四边形是梯形；

(4)2组对边分别平行的四边形是平行四边形；

(5)过直线外一点作直线的平行线有且仅有1条；

(6)平行于同一条直线的2条直线平行；

(7)如果一个角的2条边分别与另一个角的2条边平行且方向都相同或相反，则这2个角相等.