感应式热水器磁热耦合分析

康劲松，徐友刚，陈 宇

（1.同济大学 电气工程系，上海 200092；2.上海市电力公司青浦供电公司，上海 201700）

感应加热是利用电磁感应使被加热的材料内部产生涡流，依靠涡流能量而加热.感应加热具有加热时间短、效率高和结构紧凑等优点，广泛应用于金属熔炼、热处理、焊接和液体加热等方面.

目前，对感应加热的磁热研究主要有：研究磁性和非磁性材料的横向磁通感应加热电磁场，建立模型描述磁场强度的分布；应用电磁场、热场及残余应力场的有限元数值方法，研究感应淬火问题；当材料表层加热到居里点特性变化时，通过假设工件由不同磁导率的两部分材料组成，来计算电磁场的分布［1－5］；使用边界元法和有限元法计算线性阻抗材料高频感应淬火的涡流场，分析表面感应淬火的残余应力分布等［6－7］.

感应式热水器利用交变磁力线通过加热体，使加热体内铁磁分子激烈振荡高速发热，冷水流经加热体后被瞬间加热.该系统彻底分离了电路系统和水路系统，具有高可靠性和安全性.笔者从系统数学模型建立、边界条件设置和材料属性定义等方面着手，着重提出一种解耦磁热耦合计算方法.最后通过仿真模型提出系统优化设计方案，并验证其可行性.

1 磁场和热场分析

感应加热主要遵循电磁感应、集肤效应和热传导等基本原理，其中电磁感应起主导作用，集肤效应是影响感应加热的重要因素，它们在一定程度上决定着热传导.实际上，热传导所需要能量是由电磁感应涡流功率提供的［8］.

1.1 电磁场计算

电磁场计算根据边界条件求解麦克斯韦方程（Maxwell’s equations）.其中，磁场边界条件可以分为三类：①磁力线与边界面垂直；②磁力线与边界面平行；③边界面为具有面电流密度的铁磁边界.根据磁场边界条件计算时，首先要考虑研究域的对称性和周期性.如果研究域具有对称性，在计算时利用对称性，并在对称面上设定法向磁场或切向磁场；如果研究域具有周期性，在计算时利用周期性，并在计算循环时设定循环条件.其次是考虑无穷边界问题，有些无穷边界可采用边界盒等效方法［9－12］.

根据麦克斯韦方程、磁场边界条件和感应加热时变磁场特性，建立如下磁场求解方程：

其中：μr为相对磁导率，μ0为真空磁导率，H·m－1；A为矢量磁位，Wb·m－1；Hc为矫顽力（永磁体），A·m－1；σ为电导率，S·m－1；V 为电势，V；t为时间，s.

1.2 集肤效应

集肤效应指当一个圆形断面直导线通以交流电时，电流在导体截面上的分布将不再是均匀的，导体表面上各点电流密度由外向内从最大连续变化到最小.集肤效应所引起的集肤深度可以表示为

其中：ρ为电阻率；f为感应加热频率；μ为磁导率.

上式表明，涡流分布高度集中在加热体表面，而且涡流强度随着与表面距离的增大而急剧下降.涡流产生的热量与涡流强度的平方成正比，所以，从表面向心部，热量的下降要比涡流下降更快.感应式热水器建模涉及到集肤深度计算问题，如表1所示.

表1 加热体和感应线圈的集肤深度Tab.1 The skin depth of heater and induct turns

1.3 热场计算

热量传递方式主要有三种，分别是：①传导传热，机理是物体内部各质点彼此接触时，热能从高温质点传给低温质点；②对流传热，发生在流体（液体或气体）与固体之间；③辐射传热，热能以电磁波的形式，将互相不接触的物体，从高温物体传给低温物体.这三种热量传递方式在感应式热水器工作过程中均会发生，其中热传导占主要部分.热传导的基本关系式为Fourier定律

热传导方程

其中：φ 为热场密度，W·m－2；T 为温度，K；k为热导，W·m－1·K－1；CP为比热容；q为单位体积内热功率，W·m－3.

在计算热场时，边界条件也要考虑研究域的对称性和周期性，以便减少计算量.热场的边界条件可以分为三类：①假设边界温度为T0，温度与时间相关，可以沿边界变化，最简单的形式为T＝T0；②假设边界热密度为φ0，反映求解域边界上的热量变化，特别是当φ0＝0，表示为绝热边界，即固体物质和周围环境没有热交换；③与周围环境有热交换，分别有：热对流，φn＝－α（T－Ta）；热辐射，φn＝－εσ（T4－）；热对流＋热辐射，φn＝－α（T－Ta）－εσ（T4－）.其中：α为热对流系数，W·m－2·K－1；Ta为环境温度，K；ε为热辐射系数.

根据上述热传导关系式和边界条件，采用有限元法求解瞬态热模型方程为

2 磁热耦合计算

耦合通常有强耦合和弱耦合两种形式.强耦合是同时求解两个系统方程，弱耦合是两个系统方程被单独求解，然后结果相互利用.磁热场属于强耦合场，但在实际求解过程中不需要同时求解磁场和热场.这是因为磁场和热场的时间常数不同，对于电磁场，感应加热频率范围是50～1000Hz，分析时间小于0.02s；对于热场，瞬态热现象的时间常数不会超过0.10s.总之，对于只允许有1个时间变量的磁热强耦合场，在仿真时要将磁、热解耦，使计算步长和最小时间常数相匹配［13－16］.

解耦磁热耦合，需进假设：①电源是正弦交流电；②材料属性随温度变化缓慢且连续；③磁场是简谐场.解耦后，连续求解磁、热方程，磁场计算的功率密度作为热源引入热场分析，热场计算的温度引入磁场并更新磁导率和电导率.这样反复求解磁、热方程并与设定的温度值相比较，确定是否完成计算.具体步骤如图1所示.

图1 磁热耦合计算流程图Fig.1 The flow chart of magnetic thermal coupling computation

磁热耦合计算开始时需要初始化，设置初始温度和材料属性，分析磁场，可以根据磁场结果，计算涡流引起的功率损耗——热源.利用热源计算的温度作为参数传递到磁场计算，并将材料属性调整到新温度下的值，然后根据这些属性重新计算功率损耗，完成热源的更新过程，进行迭代计算.

3 系统建模

感应式热水器实际结构如图2所示，在由非导磁材料制成的管状容器内安装1个与管状容器大小、形状相匹配的柱状金属体，在管状容器外安装1个导磁材料制成的外壳，起到外磁路的作用.当管状容器外施加中高频交变磁场，使容器内的金属体产生涡流而发热.在容器两端的外壳上分别设置水的入口和出口，使水从入口流入容器后沿着金属体流到容器另一端并从出口流出容器，水在沿着因涡流而发热的金属体流动时被加热.

3.1 几何模型

感应式热水器的各物理量在圆周方向呈对称分布，所以，可以把实际三维空间的问题转换成平面问题解决.建立系统1／4几何模型如图3所示，设定的加热体直径为60mm、高为300mm、容积为1.4L，感应线圈为56匝.系统的有限元计算单元格划分见图4.

3.2 物理属性

仿真时，设置的初始温度为20℃，加热体属性变化特性按以下设置：

（1）磁导率B（H，T）是非线性的，随温度变化规律（见图5）为

其中：μ0为真空相对磁导率，μ0＝4×10－7H·m－1；μr0为相对磁导率（T＝0），μr0＝600；Js0为磁密饱和点（T＝0℃），Js0＝2T.

（2）加热体电阻率ρ随着温度变化规律是

（3）加热体热导率K随着温度变化规律是

（4）加热体比热容随着温度变化规律（见图6）是

式中：CP为比热容；CP，T＝0＝3.9×106J·m－3·℃－1；CP，T＝∞＝4.68×106J·m－3·℃－1；E为相移能量，E＝1.2×1010J·m－3；σ为典型高斯系数，σ＝30；Tc为变化温度（居里点温度），Tc＝760℃；τ为指数函数的温度常数（正负），τ＝500.

3.3 电路关联

系统仿真时，需要利用等效电路模型模拟实际系统电路.图7为系统实际电路结构图，变频电路由4个可控器件VT1～VT4组成.在仿真时可以将系统等效成为RLC串联谐振电路.

图7 控制系统电路结构图Fig.7 Circuit structure of control system

3.4 仿真步长

磁热计算通常可以选择牛顿迭代法.迭代步长的选择是一个非常重要的过程.选得太大，计算结果不精确；太小，增加求解时间，降低求解效率.求解步长可以用能量平衡方程

式中：m为集肤深度区域质量；取m＝0.013526kg；加热体比热容Cp＝500J·kg－1·℃－1；Δθ为期望增加的温度，取Δθ＝30℃；Pj为感应功率，Pj＝8800W；Δt为初始步长，Δt＝0.0268s.因此，可以设置求解步长为0.027s，加热初始温度和室温为20℃.

4 仿真结果与分析

4.1 磁力线分布

图8是系统磁力线的分布情况.从中可以看出，交流电通过线圈，引起通过加热体的磁力线从其表面上通过.该现象由集肤效应引起，加热装置的大部分热量由其发出.图9b的中心部位环流是由涡流效应所引起的载流子运动路径.

图8 系统磁力线分布图Fig.8 The equi－flux lines of system

4.2 加热体温度变化

图9是加热体温度变化图，可以看出，由于集肤效应，加热体的边缘温度明显高于中心温度.同时，由于加热体的上下磁力线逸散（边缘效应），导致加热体的顶端温度没有中心高.图10表示加热体上2个点在20s内温度变化情况，其中，表面点（29，30）温度变化明显快于中心点（0，0）.

4.3 水温变化

加热液体的热量传递主要是热对流，但在有限元软件中需要利用热传导等效热对流.在上述仿真中没有考虑到水加热，只对加热体加热.此时，可将上述加热体中热量通过热传导传递给水.仿真利用等效方法，并通过一定时间来实现热均匀，从而可以达到模拟加热水效果.图11显示了水温变化情况.

4.4 加热效率计算与尺寸优化

在仿真中，可得加热体功率为8789W，感应线圈铜耗为56.2W.加热30s后，水温为62.5℃.则1.4L水吸收的热量Q1＝249900J，加热体消耗热量Q2＝13770J，感应线圈内阻消耗热量Q3＝1686J，则加热效率为

由于计算过于理想化，在实际的加热过程中，效率只能达到90%左右.

根据上述感应体结构，采用不同的尺寸仿真，得到的结果如2表所示（需要说明的是，考虑到加热时间较短，液体各层温度存在差异性，因此先不将水加入到仿真系统中，只是对加热体加热35 s）.

表2 各种尺寸加热体的加热结果Tab.2 The simulation results of columned conductor with different radiuses

5 结论

在感应式热水器设计阶段，采用有限元软件将实际空间问题转化为平面问题，能够有效分析其磁热耦合和模拟加热过程.在磁热耦合分析上，采用更新迭代法计算磁场和温度场，每计算一次，就根据计算结果修改材料的性能参数，迭代下一次.经验证，该方法能够较为准确地计算磁热耦合，得出加热体和水温的变化情况.在加热过程仿真中，利用计算结果动态绘制变化曲线和温度云谱图，模拟加热过程.因此，该方法可用于感应式热水器系统结构模拟、磁热耦合分析和优化设计，有效减少试验成本，还适用于金属熔炼、热处理和焊接等领域的模拟.

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