数列性质的探究

◆付 伟

(辽宁本溪市卫生学校)

数列性质的探究

◆付 伟

(辽宁本溪市卫生学校)

若数列{an}是是等差数列，有性质:

从等差数列的通项公式不难证明这两个性质，但这仅仅是让学生在表面上理解这两个性质，这样的“传道授业”，只是生硬地把知识呈给学生，告诉学生结果是什么，却不能自然地融入到学生已有的认知结构中。因此学生可能会在课堂上模仿运用，课后却不会独运用，更谈不上灵活了。那么如何根据学生原有的知识与经验，设计自然的过程，体现学生对等差数列性质的认识过程呢?在教学中我们就利用数轴探究数列的性质进行了研究。

一、缘起

在中学数学里，数轴是常用的工具，它没有直角坐标系那么丰富多彩，但它本身也是数形结合思想方法的体现。因为它的简捷方便，使它成为数学解题中最亲近的朋友。因为，在数轴上等距离地依次取点，与点对应的一列数便构成了等差数列。

在数轴上任取一点A1，令对应的坐标为a1，然后向右(或向左)每相隔等距离，依次取点 A2，A3…An，并令对应的坐标为 a2，a3，a4，…，an，则得到的一列数a1，a2，a3，a4，…，an，组成等差数列，并且为递增数列或递减数列。若设公差为d则有a2－a1=d

于是，我决定利用数轴这位熟悉的朋友，通过问题引导学生的学习活动，这学生铺设合理的认知台阶;让学生自己去发现与分析数轴上这些等距离点的关系，从形的关系迁移得到数的关系，进而认识数列中项与项的关系，亲身去感受、体验新知识的形成过程，从而概括得到等差数列的性质。

二、问题与探究

问题一:起点与其它所有点构成的线段有怎样的关系?

起点与其它点构成的线段分别是 A1A2、A1A3、A1A4…A1An、A1An+1等。

探究1:起点对应的数a1与其它点对应的数之间有怎样的关系?

因为数轴上两点间的距离与坐标有如下的关系︱A1An︱=︱an－a1︱;由学生分析探讨，得到起点对应的数a1与其它点对应的数之间也有下列关系:

从而得到等差数列的通项公式，既可以拓宽学生的视野，让学生从形的角度理解通项公式，更可以激发学生发现与得到更多等差数列的性质。

问题二:任意两点间的线段的长度有什么特点吗?

任意两点构成的线段可以是︱A2A4︱、︱A3A6︱、︱AmAn︱等，这些线段的长度分别满足:

(注:由公差的定义，d的符号由后面项与前面项的差的符号决定，因此d的符号与an－am的符号一致。)

由此，得到等差数列任意两项间的关系:an－am=(n－m)d

即:等差数列的任意两项的差就是这两项的序号的d倍。

移项得an=am+(n－m)and(其中m、n∈N*)

这是等差数列的一个重要递推式。由这个递推式，对于一个等差数列{an}，只要给定任

意一项an与公差d，不必去求解首项，可直接写出该数列的通项。借助数轴，能使学生直观理解这一性质，加深记忆，真正掌握这个递推式，也才能使学生在解题时信手拈来，灵活应用。

在学生思维的最近发展区内提问是让学生自主探究的关键。以上关于数轴上点的问题的设计，目的在于让学生通过观察与思考去发现一些本来就存在的规律，进一步观察，可以发现更高层次的规律。

问题三:从“等距离”思考，点与点之间有无其它特殊关系呢?

因为我们在数轴上所取的各相邻点是等距离的，那么从“等距离”考虑，点与点之间有无其它特殊关系呢?任取点Ak，则点Ak前后两点分别为Ak－1与 Ak+1，且点 Ak为线段 Ak－1Ak+1的中点，即 Ak－1与 Ak+1关于 Ak对称;进一步可以发现关于点Ak对称的点有许多对，它们分别在点Ak的两侧，且与点 Ak等距离。例如:Ak－2与 Ak+2，Ak－3与 Ak+3，…，它们满足:

在这个过程中，学生发现，几乎所有的点都可以作为另外两点的对称中心(除了起点与最末的点)几乎所有的点都能找到关于该点对称的点。

这种发现激发了学生的兴趣，原来不断地探索，一些规律就在不经意间找到了。

探究3:刚才的发现能否迁移到数列呢?

鉴 于 前 面 的 经 验，由︱Ak－1Ak︱=︱AkAk+1︱得︱A1Ak︱－︱A1Ak－1︱ = ︱A1Ak+1︱ － ︱A1Ak︱，

即 2︱A1Ak︱ = ︱A1Ak－1︱ + ︱A1Ak+1︱，

把上面等式转化成对应的数的等式，可得

同理可得2ak=ak－2+ak+2;

观察等式的特征，其中的下标满足关系

若取k=3，则应有2 a3=a2+a4=a1+a5。

显然，由通项公式容易证明等式成立。

继续探讨，k=5，是否有2 a5=a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6?

探究4:由以上结论，能否推广到一般呢?

由探究3，学生能自如地写出下列结论:

此时，很多学生对等差数列中即将出现的又一个特殊性质也是望眼欲穿，虽然有的学生还不会正确地表达出来，但差不多是呼之即出:

若 m、n、p、q 为整数，且满足 m+n=p+q，则对应的以 m、n、p、q 为下标的项应满足关系式an+am=ap+aq。

三、后记

经历了从形到数，从特殊到一般的转化，学生对这个性质的理解是水到渠成，而且，对这个性质与众不同的对称特点印象深刻，于是可以很自然地称之为数列的对称性。数列的对称性揭示了数列内在的规律，显示了数学的简洁美。

［1］高中数学课程标准教师读本.华中师范大学出版社，2003，10.