基于消费水平的公共设施选址与设计问题研究

万 波，杨 超，黄 松，董 鹏

（1.华中科技大学 管理学院，湖北 武汉 430074；2.江汉大学 档案馆，湖北 武汉 430056）

城市公共服务设施布局状况直接关系着城市公共服务供给的效率和质量，对于推进城市和谐社会建设起着基础性的作用，因而公共服务设施选址问题引起了各国学者们的广泛关注［1］。

TOREGAS等最早将集覆盖选址模型应用于解决消防中心和救护车等的应急服务设施的选址问题［2］。MOORE等提出基于分级的带容量限制的覆盖选址模型，使各级服务设施覆盖人口最大化［3］。PIZZOLATO等利用无容量约束的 P－中位模型，以所有居民到学校的总的行走距离最小化为目标，对巴西的学校选址问题进行了研究［4］。TEIXEIRA等将层级选址模型运用于公共服务设施领域，对学校选址问题进行了研究［5］。MARIANOV等考虑了拥塞情况下公立服务设施与私立服务设施的竞争选址问题［6］。PLASTRIA等假设消费者将全部需求分配给最有吸引力的设施，研究了同时优化选址和设计决策的多设施选址问题［7］。EISELT等考虑了单个设施、一个设计属性（即质量）和需求非弹性的基于空间交互模型的竞争选址问题［8］。ABOOLIAN等提出了一类离散情形下的竞争选址设计问题，对选址和设施有限的设计情形进行优化［9］。

然而上述文献中均未考虑需求点的消费水平对于设施选址与设计的影响。此外，目前的选址问题对设施属性设计主要限于容量设计，而对其他属性设计研究得较少。

基于此，笔者通过定义消费水平函数来反映顾客的消费水平，通过重力模型来反映顾客对于公共设施的选择概率，在预算有限制的条件下，建立了基于消费水平的公共设施选址与设计模型。该模型不仅考虑了应该在哪些备选设施节点处建立免费设施或者收费设施，同时也考虑了如何确定建立的每个收费设施的属性，由于该模型是一个混合整数规划问题，笔者设计了相应的遗传算法对该模型进行求解。

1 模型背景与相关理论

1.1 问题背景

为了满足各种需求层次的居民对公共服务的需求，需要考虑消费水平与设施服务效用的差异性。各个需求点的人员组成结构不同，收入水平也不同，导致其消费水平存在差异性。在进行收费设施选址时，需考虑需求点的消费水平，以保证在现有财政预算条件下，让尽可能多的具有消费能力的需求者能够享受到优质资源。

1.2 符号含义与相关理论

1.2.1 符号含义

同时定义如下的决策变量:xij为源于需求点i的需求分配给j点收费设施的份额；yj表示如果服务设施定位于j点，yj=1，否则为零；就属性l而言，yjl为服务设施j相对于基本水平的改善水平。

1.2.2 Huff重力模型

引入Huff重力模型，对需求点的客户进行分配。同一个需求点的顾客按照设施的效用根据一定的概率来选择各个设施。设施效用由距离与设施吸引力决定，其中吸引力由硬件与软件等多种属性决定。

对于收费设施而言，位于j点设施的吸引力可定义为:

对于免费设施而言，Aj=αj，即免费设施的吸引力为基准吸引力。位于j点的设施对于需求点i上顾客的效用为:

对于收费设施而言，其效用与设施的吸引力成正比，与设施和需求点的距离成反比。对于免费设施而言，因其吸引力为常量，故其效用仅与距离成反比［10］。对于收费设施而言，需求点i上的客户分配给设施j的比例为:

其中，分母表示需求点i分配给其所有收费设施的效用与分配给其最近的一个免费设施的效用之和，也就是说需求点的需求要么分配给最近的免费设施，要么分配给收费设施。

1.2.3 消费水平函数

为了保证收费设施服务效用最大化，即在目前财政预算限制条件下，尽可能充分发挥优质资源的使用效率，需要定义满足如下性质的消费水平函数:单调递增的凹函数，且二阶可微。这类函数很多，可选取如下函数作为消费水平函数:

当Ri→∞时，g（Ri）→1，说明需求点i的需求分配给优质资源的比例趋近于1；当Ri→0时，g（Ri）→0，说明需求点i的需求分配给优质资源的比例趋近于0，消费水平函数图如图1所示［11］。

图1 消费水平函数图

2 模型建立与求解算法

2.1 基于消费水平的公共设施选址与设计模型

在进行设施选址时，因经济发展水平的约束，需考虑的经费预算约束为:

上式左边第一项为免费设施的基本建设成本，第二项为收费设施建设成本，包括基本建设成本与设施改善成本。式中cl（yjl）表示对于设施j而言，将属性l由基本水平提高到yjl水平的成本，yj∈Vl，∀j∈C。

笔者引入Huff重力模型，在最大覆盖选址模型（maximum covering location model，MCLM）基础上提出基于消费水平的公共设施选址与设计模型（PFLDMCL），对公共服务设施选址与设计问题进行求解。该模型以追求优质资源的效用最大化为目标，考虑基本需求全覆盖及设施建设经费约束等条件。模型目标函数及约束如下:

其中，式（1）表示优质资源（收费设施）服务效用最大化；式（2）～式（5）在Huff重力模型及消费水平函数中已经解释；式（6）确保源于所有需求点的需求都能享受基本的免费服务；式（7）表示当j点未建立收费设施时，设计变量为零；式（8）表示设施预算约束；式（9）和式（10）表示决策变量的取值范围。

2.2 求解算法

由于最大覆盖选址问题是 NP－hard问题［12］，笔者的模型是在最大覆盖选址模型基础上建立的，因此也是NP－hard问题，没有有效的算法。笔者设计的算法分成两部分，第一部分用LINGO软件求解免费设施的选址问题［13］，第二部分利用遗传算法求解收费设施的选址与设计问题。模型求解算法分成两个阶段。

第一阶段求解如下集覆盖问题:

第二阶段利用遗传算法求解最大覆盖问题。

（1）调用crtbp函数，创建一个n位的染色体，种群个数为NIND的初始种群，其结构如图2所示。染色体的前n0位为备选设施选址信息（0表示不作为设施选址点，1表示作为设施选址点），n1位为相应选址点的属性1的改善水平（0表示属性为良好，1表示属性为优秀），n2位为属性2的改善水平，以此类推。

图2 染色体结构

（2）根据选择的初始种群求目标函数值，迭代次数gen=0；

（3）调用ranking函数，分配适应度值；

（4）调用select函数，使用随机遍历抽样选择NIND个个体；

（5）调用recombin函数和mut函数，以一定的交叉概率对种群进行重组和变异操作，并检验是否满足式（8），对不满足约束的变异，要随机产生可以满足约束条件的染色体；

（6）将步骤（4）和步骤（5）得到的种群进行合并，选择最优的 NIND个个体组成新的种群NewChrom；

（7）将NewChrom作为初始的种群。gen=gen+1，重复步骤（3）及以下步骤的操作，直到gen达到最大迭代次数count时停止迭代，得出收费设施的最优解（j∈C）。

3 实例分析

以武汉市某区小学选址与设计为例，根据该区的人口分布情况进行聚类，可将开发区居民点聚类成50 个需求点，即 I={i1，i2，…，i50}，设免费设施候选点的集合F和收费设施候选点的集合C与需求点的集合I相同，即F=C=I={i1，i2，…，i50}。将学校的属性L确定为两种:师资队伍为1，硬件设备为2；将不同属性的改善水平分为两等，即良好和优秀，将其量化为 Vl={0.1，0.2}；定义不同属性的敏感度参数{θ1，θ2}={2，1}。设引力敏感度参数、距离敏感度参数、消费敏感度参数分别为α=β=λ=1，学校的基准吸引力αj=1，设免费设施的吸引力与基准吸引力相同。免费小学的覆盖半径为2.5 km。假设小学的基本建设成本为1000万元，改善师资的成本c1（yj1）={c1（0.1，0.2）}={10，50}，改善设备的成本c2（yj2）={c2（0.1，0.2）}={5，25}，该区财政预算经费B=12900万元。

为了切合真实情况，将dij考虑为学生从居住地到学校的实际行程，使用Arcview GIS网络分析功能可求得距离矩阵。需求点i的消费水平参数Ri由各个需求点的收入水平确定。wi为50个居民区的小学适龄入学学生人口数。因dij、Ri、wi数据量大，在此不一一列出。设置最大迭代次数count=100次，利用Matlab7.0编程，分3类情况进行讨论。

情况1 预算确定情况下的学校选址与设计问题求解结果如图3和图4所示。由图3可知，遗传算法对求解该模型具有良好的收敛性，在迭代次数count=18时收敛。预算确定情况下，免费与收费设施的选址与设计属性如图4所示。由图4可知，需建立10所免费学校，其编号为:7，8，25，29，37，41，42，44，48，49；建立两所收费学校，其编号为:15，17，其中两所学校的师资属性均为优秀，硬件属性均为良好。两所收费学校距离较近，因为该区域人口众多，且为该区内收入最高的区域，为了保证有能力的消费者能够充分享受到优质的教育资源，故选择以上两点作为收费学校选址点。

图3 预算确定时迭代次数与目标函数值关系图

图4 预算确定情况下学校选址与设计图

情况2 新增需求点后学校选址与设计问题。假定该区需新建两个配套生活小区，已存在设施的候选点集合不变，新增的两个小区也作为候选点集，即 I={i1，i2，…，i52}，求解选址与设计问题，其求解结果如图5所示。

图5 新增需求点后迭代次数与目标函数值关系图

由图5可知，遗传算法求解该模型具有良好的收敛性，在迭代次数count=41时收敛。新增需求点后学校选址与设计属性如图6所示。由图6可知，需建立11所免费学校，即在预算确定情况所确定的10所免费学校的基础上新增加1所编号为52的免费学校，另外，需建立两所收费学校，其编号为:16，51，其中两所学校的师资属性均为良好，硬件属性前者为优秀，后者为良好。

图6 新增需求点后学校选址与设计图

结果表明，与情况1相比，在不增加预算的前提下，首先保证基本需求，即新增1所免费学校，然而，由于预算并没有增加，故收费设施的服务等级要受到影响，即原来有两个优秀与两个良好，现在变为1个优秀，3个良好。另外，收费学校选址点发生了变化，原因为新增的51、52点的需求人数相当大，且消费水平较高，故新增的需求点附近要有收费学校来满足需求，同时为了平衡新建居民区与老居民区对优质教育资源的需求，因而选择编号为16、51的点作为收费学校选址点。

情况3 预算及消费水平变化后的学校选址与设计问题。假定国家对公共设施的投入持续增长，消费者的消费水平持续提高，笔者以5年规划为例，讨论该区的预算及消费水平变化后的学校选址与设计问题。假设财政预算经费B每年按4%增长，需求点的消费水平Ri每年按10%增长，在此情况下免费学校的选址情况不变，收费学校的选址与设计结果如表1所示。

表1 收费学校选址及其属性设计

由表1可知，随着投入经费的增加与消费水平的提高，第2年与第1年相比，两所收费学校的属性发生了明显的变化，即设备属性均由良好变为优秀。第3年与第2年相比，收费学校的数目发生了变化，即增加了1所收费学校。同样，第4年与第3年比属性有改善，第5年与第4年比，增加了1所收费学校。结果表明，随着对公共设施投入水平的增加，优质资源从质与量上均将得以改善。

4 结论

笔者考虑了顾客的消费水平，基于Huff重力模型，以最大化收费设施的效用为目标，建立了一类基于消费水平的公共设施选址与设计模型。笔者以武汉市某区为例进行案例分析，结果表明，采用遗传算法求解该模型的收敛性较好。从案例所讨论的3种情况来看，收费设施建设于人口比较集中且消费水平较高的选址点；在不增加预算的前提下，首先保证基本需求，即新增免费学校，而收费设施的服务等级要受到影响；随着对公共设施投入水平的增加，优质资源在质与量上均将得到改善。

［1］MACINTYRE S，MACDONALD L，ELLAWAY A.Do poorer people have poorer access to local resources and facilities?the distribution of local resources by area deprivation in Glasgow，Scotland［J］.Social Science ＆Medicine，2008，67（6）:900 －914.

［2］TOREGAS C，SWAIM R，REVELLE C.The location of emergency service facilities［J］.Operations Research，1971（19）:1363－1373.

［3］MOORE G C，REVELLE C.The hierarchical service location problem［J］.Management Science，1982，28（7）:775－780.

［4］PIZZOLATO N D，BARCELOS F B，LORENA L A N.School location methodology in urban areas of developing countries［J］.International Transactions in Operational Research，2004，11（6）:667 －681.

［5］TEIXEIRA J C，ANTUNES A P.A hierarchical location model for public facility planning［J］.European Journal of Operational Research，2008，185（1）:92 －104.

［6］MARIANOV V，RIOS M，TABORGA P.Finding locations for public service centers that compete with private centres:effects of congestion［J］.Papers in Regional Science，2004（83）:631 －648.

［7］PLASTRIA F，CARRIZOSA E.Optimal location and design of a competitive facility［J］.Mathematical Programming，2004，100（2）:247 －265.

［8］EISELT H A，LAPORTE G.The maximum capture problem in a weighted network［J］.Journal of Regional Science，1989，29（3）:433 －439.

［9］ABOOLIAN R，BERMAN O，KRASS D.Competitive facility location and design problem［J］.European Journal of Operational Research，2007，182（1）:40 －62.

［10］张曦，杨超，胡丹丹.考虑市场扩张和吞并的新设施竞争选址模型［J］.工业工程与管理，2009，14（2）:43－47.

［11］ABOOLIAN R，BERMAN O，KRASS D.Competitive facility location model with concave demand［J］.European Journal of Operational Research，2007，181（2）:598 －619.

［12］DASKIN M S.Network and discrete location:models，algorithms，and applications［M］.New York:Wiley Interscience，1995:110 －121.

［13］万波，杨超，黄松，等.基于层级模型的嵌套型公共设施选址问题研究［J］.武汉理工大学学报:信息与管理工程版，2012，34（2）:218 －222.

［14］CHURCH R L.Geographical information systems and location science［J］.Computers ＆ Operations Research，2002，29（6）:541 －562.