基尼系数按收入来源分解的一种新方法

戴平生，庄 赟

(1.厦门大学经济学院，厦门 361005；2.厦门集美大学财经学院，厦门 361021)

0 引言

Fei等人被认为是最早从事基尼系数按收入来源分解研究的学者[1]。在研究中他们把按收入来源分解称为要素分解，根据各要素收入与总收入的相关性确定各要素基尼系数在分解式中的符号，相关系数小于0时则取负号；Pyatt等人利用集中率对基尼系数的要素分解做了改进，设定的各要素基尼系数的权数符号大于0，且总量基尼系数为各分量基尼系数的加权平均[2]；Shorrocks利用伪基尼系数(不按从小到大排序)，将总体基尼系数表示为各分量伪基尼系数的加权平均[3]；Lerman和Yitzhaki利用基尼系数的协方差表达式给出基尼系数要素分解的协方差形式[4]。但上述对总体基尼系数的分解都以针对个体微观数据为出发点，并没有对组数据的基尼系数按收入来源分解问题给出较好的解决方案。而实际应用中存在大量的组数据，如我国的统计年鉴收入数据通常以地区人均收入出现。本文试图利用组数据基尼系数的线性表述，给出基尼系数按收入来源分解的表达式，尝试解决组数据中基尼系数按收入来源分解问题。

1 组数据的基尼系数按收入来源分解

基尼系数有多种等价表达式。本文给出在组数据情况下基尼系数的线性表述形式，它可以方便地将总体基尼系数按收入来源分解。

1.1 基尼系数的等价表达式

设n组收入按从小到大排列依次为y1≤y2≤…≤yn，各组人口数为q1,q2,…,qn，满足q1+q2+…+qn=q，记pi=qi/q称为第i组的人口份额，Fi=p1+p2+…+pi称为累计人口份额(i=1,2,…,n)，基尼系数可以用收入份额加权给出：

其中，si/S(i=1,…,n)称为第i组的收入份额，它是第i组收入在总收入中所占的比重。下面证明它是基尼系数的一种等价形式。

证明：用Li表示对应于Fi的累计收入份额，并记L0=0，F0=0。有

等式右边为组数据的基尼系数常用计算公式，因此式(1)为基尼系数的一个等价形式。该表达式具有明确的经济含义，即各组收入份额的加权和。权数wi为收入分布Fi的函数，这意味着由各组收入份额、权数就可以计算基尼系数，基尼系数可以看作是收入份额、权数两个向量的内积。因此，只要把收入份额与权数一一对应，不受后面按收入来源重新排序的影响，十分方便总体基尼系数按收入来源的分解。

权数wi(i=1,…,n)具有以下良好的性质。①权数关于i是单调递增的；②权数与相应人口份额的内积等于0；③权数是有界的，介于p1-1与1-pn之间；④前面权数小于等于0，后面权数大于0。

性质①由定义可以直接得到，性质②只要对权数做以下变形：

容易得到与人口份额的内积为0的结论；性质③性质④可以由性质①直接推出。权数小于等于0的项可以求解wi=0得到，大致在累计人口份额接近50%的项。n个权数中必定存在一个小于等于0的项，它的左侧权数小于0，右侧权数大于0，该项也称为政策项，即仅增加其左侧某项的收入份额可以改善收入不平等，增加其右侧某项的收入份额会提高收入的不平等程度。

1.2 基尼系数按收入来源分解

定理假定收入y来源于如工资、资产性收入和转移收入等r个不同的要素(y1,y2,…,yr)，满足y=y1+y2+…+yr。有

其中，用带星号(*)和不带星号的权数分别表示按总量排序、按分量排序时的对应权数。Sk为第k个要素的收入总和，Gk为第k个要素的基尼系数(k=1,2,…,r)。

证明：由基尼系数的线性表述有

Kakwani指出基尼系数按收入来源分解，总体基尼系数不超过其各来源基尼系数关于收入份额的加权平均数[5]。因此，式(2)右边的第二部分小于0。式(2)表明总体基尼系数可以分解为两大部分：第一部分为各个分量基尼系数关于收入份额的加权平均，第二部分为根据收入来源各分量重新排序产生的差异，简称为序差。序差实际上由各个收入来源数据占总体收入的收入份额因排序产生的内积变化构成，是一个具有明确经济含义可直接计算的调整项。式(2)第一等号的右边只是单纯的按各个收入来源分为r个部分，可以把第i个部分与总体基尼系数的比值称为第i个收入来源对总体基尼系数的综合贡献率，记为s(i)(i=1,2,…,r)，它是研究各个收入来源对总体基尼系数边际效应的一个重要指标。

2 基尼系数按收入来源分解的性质

式(1)给出的基尼系数线性表述，在排序后仅强调收入份额与权数(收入分布的函数)的一一对应，因此便于总体基尼系数的分解和计算。它的作用更多的是提供一种算法，其次才是形式上的表达方式。

2.1 各收入来源的边际效应

设第m个收入来源增长百分之d，从ym变为(1+d)ym，收入y就相应变化为y’=y+dym，相应的基尼系数变化增量为

其中，分别用星号和带撇号(’)标识按总体收入增加前后的权数，s(m)表示第m个收入要素对总体基尼系数的综合贡献率，Δ1为总体收入在第m个要素增长百分之d前后因排序变化产生差别，当d的变化较小时，该差别很小可以忽略不计，因此有

符号ηm称为结构弹性，是第m个要素对总体基尼系数的综合贡献率与收入份额的比值。当ηm大于等于1时，由式(4)可以推出基尼系数上升；当结构弹性小于1时，基尼系数下降。这一结论与Lerman和Yitzhaki(1985)的研究一致，在关系式的推导过程中他们假定各个收入来源的增长对总体收入分布的影响可以忽略不计，从而使收入来源变化与总体收入分布的协方差计算简化。这种简化产生的误差就是式(3)中的Δ1，且他们的结论仅适用于个体数据。个体数据可以看作组数据当人口份额等于1/n时的特例，因此式(4)既适用于个体数据和也适用于组数据，它反映了各收入来源增长对总体基尼系数的边际影响，这种关系被称为各要素的边际效应。

在式(3)的推导过程中对要素m增长百分之d、其它要素不变进行了假定，实际上如果各要素增长或减少同一百分数，不会改变基尼系数值，因为收入份额并没有改变。因此收入份额是它的本质，某项收入来源可能增长了，但它的收入份额可能没有增加。由于结构弹性为综合贡献率与收入份额的比值，所以各收入来源对基尼系数的综合贡献率、收入份额的大小关系，决定着该要素对总体基尼系数边际影响的作用方向。

2.2 按收入来源分解的社会福利含义

基尼系数可以直接反映由不平等所带来的社会福利损失。如果社会福利函数W定义为S×(1-G)，那么SG就是福利损失。式(2)可以通过恒等变形得到

说明总体不平等的福利损失可以分解为各要素不平等造成的福利损失，加上对福利损失的调整项。该调整项小于等于0，所以可以理解为各要素不平等造成的社会福利损失存在重叠，即被重复计算的部分，因而要给予剔除。

3 农村居民收入不平等的实证分析

下面利用2010年《中国统计年鉴》中《各地区按来源分农村居民家庭人均纯收入(2009年)》的数据，说明如何使用式(2)的算法对总体基尼系数按收入来源进行分解。该表给出了中国大陆31个省、市、自治区(不含港澳台)农民纯收入和按来源分的工资性收入、家庭经营纯收入、财产性收入和转移性收入，由于组数据基尼系数的计算还涉及各地区农村居民人口数，因此除以上数据外还需要从年鉴中获取2009年各地区1%人口抽样调查的农村居民年末人口数。为了对各地区农村居民收入进行动态比较，同时获取了2005～2008年的相应数据，相应的各地区农村人口数取自相应年度各地区1%人口抽样调查数据。基尼系数的计算在Excel表格中直接利用了数表的排序功能实现。

3.1 农村居民收入来源不平等的总体变化趋势

我国农民人均纯收入从2005年的3289.27元上升到了5189.56元(未剔除通胀因素，下同)，总体增长了58%。其中工资性收入、家庭经营性收入、财产性收入和转移性收入分别递增了73%、38%、95%和171%。除家庭经营性收入占总收入份额从2005年的55.97%下降到2009年48.82%外，工资性收入、财产性收入和转移性收入都有明显上升(参见表1)；各个收入来源分布的不均等除家庭经营性收入有所上升外，工资性收入、财产性收入和转移性收入分布的不均等都出现一定程度的改善，其中转移性收入分布的不均等下降尤其明显。

表1 农民纯收入结构变化对收入基尼系数的影响

农民人均纯收入总体基尼系数从2005年的0.17183下降到2009年的0.15967，说明农村居民收入的不平等状况出现了明显的改善。我国城乡居民的收入基尼系数近年来都在0.4以上，主要产生于城乡居民的收入差距。收入份额增长对总体基尼系数的边际影响中能够改善收入不平等的收入来源，从2005年的家庭经营性收入一项，发展为2009年的家庭经营性收入、转移性收入两项。经营性收入主要为农村家庭从事农业生产和第三产业的服务收益，其收入份额虽然随着农村家庭工资性收入的增长有所下降，但仍然是农村居民家庭收入的主要来源。转移性收入从2005年至2009年在农村家庭的收入结构中比重明显上升，其边际效应即收入份额增长对总体基尼系数的影响，从2005年的加大收入不平等到2009年的改善不平等产生了质的变化，说明转移性收入在农村居民家庭之间的分配更为平等，真正起到调整贫富差距的作用，农业直补、农村居民的医疗保险和养老保险等社会保障产生了积极的影响。

3.2 收入来源对总体基尼系数边际效应的动态分析

对各个收入来源基尼系数及其收入份额增长对总体基尼系数边际效应随着时间变化的动态分析，有利于从整体上了解农村居民各收入来源的均等性和边际影响的动态变化。表2给出了2005～2009年各收入来源基尼系数和反映边际效应作用方向的结构弹性。

表2 农村居民各收入来源的基尼系数及其对收入不平等的边际影响

从基尼系数看，家庭经营性收入的基尼系数在各年的4类收入来源中都是最低的，虽然近年来出现了一定程度的上升，但仍然是稳定和改善农村居民总体收入不平等的基础；工资性收入、财产性收入和转移性收入的基尼系数都呈现明显的下降趋势，并推动总体基尼系数的改善，图1反映了各个收入来源基尼系数的变化走势。

各收入来源的结构弹性反映了它们对总体基尼系数的边际影响，其边际效应曲线的变化由图2给出。表2的结构弹性计算结果表明农村居民的工资性收入、财产性收入关于总体基尼系数变化的弹性系数都在1.5以上，前者的结构弹性随着时间变化有所下降、后者则有所增强(参见图2)，两者收入份额的增长都可能导致总体基尼系数的上升；家庭经营性收入各年的结构弹性很小而且变化也不大，因此其收入份额的增长能够持续改善农村居民收入的不平等；转移性收入的结构弹性从2005年1.2逐渐减少到2009年0.65，变化呈现出明显的下降趋势，相应基尼系数也从2005年的0.27逐渐下降到2009年0.19，说明随着农村居民转移性收入的逐年增加其分配的均等性也逐步增强，收入份额增长对总体基尼系数的边际影响也发生了质的变化，从2005、2006、2007年对总体基尼系数的增大效应，转化为2008、2009年的缩小效应，即产生了改善农村居民收入不平等、调整贫富差距的政策效应。总体基尼系数不仅受到各收入来源边际效应的影响，而且也受到各收入来源分布均等性的影响。如工资性收入其收入份额的增长推动总体基尼系数的上升，同时其自身基尼系数的下降又对总体基尼系数产生了反向作用，资产性收入也是如此。而最终得到的总体基尼系数是各种影响综合作用的结果。

图1 2005～2009年各收入来源基尼系数

图2 2005～2009年各收入来源边际效应

4 结论

在组数据情况下对基尼系数按收入来源分解长期以来没有得到较好的解决。通过基尼系数的线性表述，本文提出了一种有效的解决方案。在这种线性表述下，基尼系数可以按收入来源分解为两大部分：第一部分为各收入来源基尼系数关于各自收入份额的加权平均；第二部分为各收入来源按从小到大排序每项收入产生的新权数与相应于总收入排序时的权数之差，乘以其收入份额的和。由该分解式可以得到各收入来源收入份额增长对总体基尼系数的边际影响，一些收入来源其收入份额的增长有利于改善收入的不平等，而另一些收入来源的作用则相反。

把本文提出的基尼系数按收入来源分解的方法，应用于2005～2009年对我国地区农村居民收入不平等的研究发现了一些有意义的结果：一是近年来我国农村居民收入不平等处于一个相对较为平稳的状态，而且整体上有所改善；二是各个收入来源的基尼系数，除家庭经营性收入在较低水平上有所上升外，工资性收入、财产性收入和转移性收入的不平等都出现了明显的下降；三是转移性收入对总体基尼系数的边际影响出现了可喜的变化，收入份额的增长从扩大收入不平等转变为改善不平等；四是家庭经营性收入的增长始终是改善农村居民收入不平等的重要基础。因此可以得到这样的政策含义：较大幅度增加农村居民的转移性收入能够改善他们的收入不平等，积极鼓励农村居民家庭提高经营性收入能够改善总体的收入不平等。

[1]Fei,J.,Ranis,G.，Kuo,S.Growth and the Family Distribution of In⁃come by Factor Components[J].The Quarterly Journal of Economics,1978,92.

[2]Pyatt,G.Chen,C.N.,Fei,J.The Distribution of Income by Factor Components[J].The Quarterly Journal of Economics,1980,95.

[3]Shorrocks,A.F.Inequality Decomposition by Factor Components[J].Econometrica,1982,50.

[4]Lerman,R.I.,Yitzhaki,S.Income Inequality Effects by Income Source:a New Approach and Applications to the United States[J].The Review of Economics and Statistics,1985,67.

[5]Kakwani,N.C.Applications of Lorenz Curves in Economic Analysis[J].Econometrica,1977,45.