基于MATLAB的空间桁架梁的内力分析计算

韩 刚，樊 涛，卜培培

(太原科技大学机械工程学院，太原 030024)

桁架梁的杆件由型钢和钢板组成，截面一般有槽形、工字形和箱形，常用铆接或焊接成型，主要承受轴向力。杆件截面上应力分布均匀，材料性能发挥好，从而节省材料，减轻结构自重并具有较大的结构刚度。空间桁架梁是由许多仅承受轴向力的杆件铰接形成的一种空间结构型式，具有材料省、自重轻、风阻小、造价低、便于空间几何布置等特点，使得桁架梁成为建筑结构和大型机械结构中常见的结构型式。此外，空间桁架梁的结构布置灵活，对其结构稍加调整便可适用于不同跨度和载荷的结构支承。MATLAB是一种高效的工程计算仿真软件，它将计算、参数化和可视化等功能集于一个简单易用的操作界面环境中，大大地减少了计算量，提高了绘图质量，拓展了MATLAB在力学分析中的应用范围，在结构力学计算和绘图中具有普遍的适用性。

1 桁架梁结构的力学分析

1.1 桁架梁结构特点及其载荷分析

在钢结构设计中，桁架梁结构可分为平面桁架式、T形桁架式以及空间桁架式三种，每种桁架梁结构根据其上下弦杆和腹杆的布置结构又可分为不同的形式[1]。在工程实际中，进行空间桁架梁结构力学分析时，考虑桁架梁杆件的内力，上弦杆承受压应力，下弦杆承受拉应力，腹杆成V字形的平行弦杆桁架结构。

桁架梁杆件截面形式应根据用材经济、连接构造简单且具有足够的刚度等要求来确定。空间桁架梁在杆件截面型式的选择时还要考虑桁架梁平面内节点的连接和平面外结构的连接。一般在节点处设置节点板，把交汇于节点的各杆件都与节点板相连接，形成桁架梁的节点，各力在节点板处互相平衡。本文拟研究的空间桁架梁，其上、下弦杆均为相同截面，并沿跨度全长连续直通，且以组成杆件的型钢形心线作为杆件的轴线，如图1所示。各个腹杆把其全部内力N1、N2传给节点板，而左右连续的弦杆则把左右节点间力N3、N4的内力差△N传给节点板。当弦杆上有集中力P时，则把△N和P的合力传给节点板。

1.2 桁架梁杆件的内力计算

图1 有集中载荷的节点构造图Fig.1 The structure diagram of concentrated-load node

桁架梁的截面型式和主要参数确定之后，可根据载荷进行桁架梁的内力分析。实际桁架梁结构为空间结构，常将空间结构简化成平面桁架来分析，而忽略各桁架之间的联系，其计算精度通常能够满足工程要求，空间结构的载荷则按照一定的规则分配到相应平面桁架上由其独立承担[2]。为了简化计算，将空间桁架梁按照载荷作用方向不同分别在各作用方向内分解成独立的桁架进行计算，最后再进行线性叠加。

在工程实际中采用以下假设:①桁架梁中各个杆件都是直线型的;②各个杆件均采用光滑的铰链连接;③桁架梁所受的载荷作用在各节点上，且分布在桁架平面内;④桁架梁杆件的重量平均分配在杆件两端支座的铰接点上。

将桁架梁从第一个节距截开，其受力图如图2所示。在工程实际中，为了计算方便和节省材料，桁架梁节距是几个固定可选的整数，一般不可能是桁架梁总长L与节距个数n的比值，则桁架梁两端的节距和其他段的节距不同。不失一般性，在计算时，将两端节距定义为l1，第二段(不确定段)的长度定义为l2，第三段节距定义为l3，其余依次类推。

逐一计算桁架梁各杆件的内力，为了计算表述方便，做以下定义:①桁架梁的上弦杆内力定义为NiU，其节点上所受载荷定义为PiU，i为节距编号(i=1，2，…，n);②桁架梁的下弦杆内力定义为 NiD，其节点上所受载荷定义为PiD;③桁架梁的斜杆内力定义为Ni，④桁架梁的竖杆内力定义为NiV;⑤桁架梁高度为h。

(1)取节距1部分为研究对象，杆件受力情况如图2所示。力D1D、D1U的方向取为向左，即表示拉力。若计算结果为负值时，则表示压力。

由图中特殊形式节点的性质可得

对力N1和N1U相交的节点取矩，有

图2 节距1受力分析Fig.2 Force analysis of pitch 1

求得

由几何关系，列力平衡协调方程:

求得:

(2)取节距2部分为研究对象，杆件受力情况如图3所示。

图3 节距2受力分析Fig.3 Force analysis of pitch 2

由图3中特殊形式节点的性质可得:

对N2和N2U相交的节点取矩，有:

由几何关系，列力平衡协调方程:

求得:

依此类推，得到桁架梁内力递推过程，如表1所示。

表1 桁架梁内力计算分析Tab.1 Internal force analysis of truss beam

总结表1，运用数学归纳法，得到如下递推公式:

2 工程算例分析

快速准确地计算空间桁架梁结构各杆件的受力情况，是进行结构强度、刚度和稳定性校核的基础。对于结构复杂的空间桁架梁，用传统的结构力学计算方法进行各杆件受力分析相当繁琐，现使用MATLAB仿真软件进行求解计算。以某研究项目中的圆管带式输送机桁架梁为例进行分析。取一部分结构为研究对象，为空间桁架梁结构，简化为平面桁架梁结构来计算，建立简支梁结构模型。各杆件材料均为Q235钢，杆件为角钢。如图4所示，求桁架梁结构中各杆件在垂直载荷下的内力。

参数条件:圆管带式输送机桁架梁节距个数n=20，梁高h=1200 mm，节间距l1=l20=531 mm，l2=l19=769 mm，其余段长度均为1200 mm，均布载荷PiD=PiU=1925 N，RB=40425 N.

图4 单榀桁架梁结构的受力示意图Fig.4 Internal force analysis diagram of the single truss beam structure

圆管带式输送机桁架梁所承受的载荷较复杂，主要包括垂直方向载荷和水平方向载荷。垂直方向载荷主要考虑桁架梁(包括走台)的自重载荷、输送带载荷、托辊窗载荷、物料载荷和冰雪载荷。

根据前述推导公式建立数学模式，编写MATLAB程序，计算结果如表2所示。

表2 各杆件的内力(单位:kN)Tab.2 Internal forces of each rod(unit:kN)

根据上述数据，在MATLAB中使用plot命令绘制图形，得到每个节距内杆件内力的分布情况，如图5所示。

图5 每个节距内杆件的内力分布Fig.5 The internal force distribution of each pitch in a rod

在本例中，MATLAB得到的结果和有限元计算数据吻合。上弦杆和下弦杆所承受的内力大小都是中间大、两头小的对称分布情况。实际上这也是均布载荷作用下简支梁的弯矩效果，整个简支梁结构总体上看就像一根梁，梁的弯矩主要由上下弦杆的拉力和压力来承受，这也从定性的角度证实了分析结果的正确性。

3 结论

从计算的结果可以看出，桁架梁斜腹杆在跨中位置的内力最小，在桁架梁两端的内力最大，因考虑经济性，设计时常按照跨中载荷确定斜腹杆的截面尺寸，而将桁架梁两端斜腹杆的截面选取大一个型号或采用双截面形式布置。在本文的推导过程中，多次使用特殊节点中各种零杆的判别方法，综合运用了节点法和截面法。使用递推公式计算得到的数据正确，桁架梁内力计算简单方便。科学与工程实际中，常常需要处理大量的计算数据，结合数学软件MATLAB辅助建模及计算，能使计算大大的简化，并能达到目的。此外，还可以利用面向对象的VC++界面来调用MATLAB程序，创建对话框，对整个桁架梁的力学分析过程进行参数化设计，实现可视化研究。

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