高频电压调制与束流冷却对同步运动的影响

吴木营 陈少文 刘敏霞 陈桂华 罗诗裕 邵明珠

（东莞理工学院电子工程学院 东莞 523808）

1944年，苏联物理学家Veksler(次年，McMillan)发现，高频电场中运动的带电粒子具有保持相位稳定的能力[1−3]。此后，加速器的能量上限实现了质的突破。值得注意的是，加速器的能量和束流强度不能兼得，这一矛盾激励着研究人员对加速器技术和束流动力学给予极大关注，先后产生了储存环技术、超导技术和束流冷却技术等。本文介绍高频电压调制和束流冷却同时存在对同步运动稳定性的影响。

理想情况下粒子的运动是稳定的，但由于高频电压调制(或扰动)——如高频噪声、电源波纹及机械振动等因素——运动的稳定性将受影响[4]。在很多同步加速器中，都观察到这一现象。比如在欧洲核子研究中心(CERN)的超级质子同步加速器(SPS)上就曾发现过[4]，并在单频假设和线性近似下进行了研究。高频电压调制，也成功地应用于高能粒子束的弯晶超慢引出，也应用于超短束流引出以及强流集体不稳定性的补偿等。在环形加速器(同步加速器、储存环等)的一个或几个直线段上安装冷却器，可实现束流冷却。由于束流冷却，离子的 Betatron振荡和同步振荡将逐渐衰减。研究人员曾分别考虑过电压调制和冷却效应对系统稳定性的影响[4−7]。本文将对这两种效应进行综合考虑。先在经典力学框架内分析冷却环的高频(RF)电压调制和冷却效应，把粒子的同步运动方程化为具有阻尼项和参数激励项的摆方程；在小振幅近似下，把摆方程化为具有参数激励项的广义Duffing方程。然后，用Melnikov方法分析周期轨道的分叉性质和异宿轨道的 Smale马蹄的混沌行为，并讨论系统的临界条件。结果表明，系统的稳定性与其参数有关，只需适当调节参数就可提高同步运动的稳定性。

1 运动方程

在理想情况下，如选择相位f和 P = −(h|η|νs)δ作为相空间正则坐标，时间t为独立变数，对于同步加速器，粒子纵向运动方程可表示为[5]：

其中，ω0是粒子回旋频率，ωs是同步粒子振荡频率，νs=ωs/ω0=(h|η|eV/2π是|cosfs|=1时的无量纲同步振荡“频率”，fs是同步相位，η是相移因子(对于η<0的加速器，00的加速器，π/2< fs<π)。考虑到 RF 电压调制和束流冷却衰减(或辐射损失)，并引入θ=ω0t作独立变数；不失一般性，考虑fs=0的稳态情形。当fs=0时，正则方程(1)可化为[4,5]：

其中，bsin(νmθ+χ0)是射频电压调制，b=ΔV/V 是电压调制振幅，νm=ωm/ω0是无量纲的电压调制频率(ωm是电压调制频率，角标m表示调制)，χ0是调制电压初相位；而2αP/ω0是冷却项，α为描述冷却效应或辐射衰减的衰减系数。对于η<0的加速器，正则方程(2)可化为：

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其中μ0=2α/ω0。式(3)是一个带有阻尼项和参数激励项的摆方程。

将 sinf做 Taylor展开：sinf =f −f3/6 +··，在小振幅近似下，式(3)可化为

式(5)的等价系统由式(6)给出

2 无扰动系统的相平面特征

当ε=0时，式(6)化为

系统的Hamilton量为

在相平面上系统有三个奇点，一个中心型奇点(0,0)，两个鞍点型奇点(1,0)和(−1,0)。当h=1/4时，存在两条连结鞍点型奇点(±1,0)的异宿轨道(分支轨道)；当01/4)，相轨道是开放的，当时间趋于无穷时，坐标ξ也趋于无穷，描写了同步粒子的不稳定运动行为。

两条异宿轨道由下可得

而周期轨道可以表示为

相应的周期

其中，sn、cn、dn为雅可比椭圆函数；0

由于高频电压调制和冷却效应的影响，式(5)表征的系统存在较典型的混沌行为与分叉性质。

图1 系统的有效势(a)和相平面特征(b)Fig.1 Effective potential of the system (a) and its phase planar properties (b).

3 周期轨道的次谐分叉

3.1 周期轨道的Melnikov函数

对任一给定的一对互质正整数(m,n)，存在唯一的 k，满足 Tk=4(1+k2)1/2K(k)=2πm/ωn，构造周期轨道的Melnikov函数，并完成积分，可得

其中

K'(k)=K(k')，E(k)为第二类完全椭圆积分。由式(15)，系统存在偶阶次谐分叉。当参数f、m满足条件

3.2 次谐分叉的物理意义

当b/a<(b/a)c时系统是稳定的，反之则系统不稳定。由式(17)可见：

(1) 如果系统不存在高频电压调制(b=0)，条件b/a<(b/a)c始终满足，系统不出现次谐分叉，状态是数学稳定的。

(2) 电压调制振幅b越小，条件b/a<(b/a)c越易满足，系统越稳定。当满足条件

系统处于临界状态。当bbc时，系统存在次谐分叉。

(3) 衰减系数a越大，式(27)越易满足，系统越稳定。当满足条件

系统处于临界状态。当a>ac系统是稳定的，当a

4 结语

本文同时考虑了电压调制和束流冷却对同步运动稳定性的影响，在经典力学框架内和小振幅近似下，把同步运动方程化为参数激励的Duffing方程，用 Melnikov方法对周期轨道的分叉性质和异宿轨道的Smale马蹄混沌行为进行了分析。结果表明，在无RF电压调制和冷却存在时，系统是稳定的，是经典束流动力学的结果；经进一步揭示，即使RF电压调制存在，只要冷却足够强，系统也是稳定的。即对于强冷却系统，即使RF电压调制存在，同步运动也可能是稳定的。此结果是在考虑高频电压调制和束流冷却同时存在时导出的。如果考虑到影响同步运动的其他因素，结果将做适当修正。

1 Veksler V I. Compt Rend Acad Sci USSR, 1944, 43: 329

2 Veksler V I. Compt Rend Acad Sci USSR, 1944, 44: 365

3 McMillan E M. Phys Rev, 1945, 68: 143

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5 Lee S Y. Accelerator Physics[M]. 2nd Edition. Shanghai:Fudan University Press, 2006: 309−315

6 肖慧娟, 罗诗裕, 邵明珠. 多尺度法与准等时同步加速器粒子纵向运动的稳定性[J]. 原子核物理评论, 2011,28(3): 300 XIAO Huijuan, LUO Shiyu, SHAO Mingzhu. The multi-scalar techniques and stabilities of longitudinal motion of particles in quasi-isochronous synchrotron[J].Nuclear Physics Review, 2011, 28(3): 300

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10 罗诗裕, 邵明珠, 罗晓华. 正弦平方势与应变超晶格位错动力学[J]. 中国科学(物理学，力学和天文学), 2010,40(2): 207 LUO Shiyu, SHAO Mingzhu, LUO Xiaohua. The sine-squared potential and dislocation dynamics for strained superlattice[J]. Sci Chin(Physics, Mechanics &Astronomy), 2010, 40(2): 207