电四极透镜中强流脉冲束的传输模拟

李超龙 石海泉 吕建钦

1 (华东交通大学基础科学学院 南昌 330013)

2 (北京大学核物理与核技术国家重点实验室 北京 100871)

在加速器的束流传输中，电四极透镜是强聚焦元件，适用于各种低能粒子的聚焦，一般用于1MeV以下的束流聚焦。强流脉冲束在电四极透镜中传输的模拟计算是一个相当复杂的问题，因为不同类型的粒子束分布产生不同的空间电荷场，而在束流运动过程中，空间电荷场也在不断地变化，而且粒子运动的轨迹与空间电荷势又是相互依赖的，最后，应当达到一种“自洽”的结果，在计算强流束的传输时求得自洽解是非常必要的[1]。

非强流脉冲束在电四极透镜中传输时，束流中离子间的空间电荷力与外加聚焦力相比可以忽略，可以用TRANSPORT-EM程序进行计算。强流脉冲束在电四极透镜中传输时，束流中离子间的空间电荷力与外加聚焦力相比不可忽略，但TRANSPORT-EM 程序不计入空间电荷力，因此不能计算强流束的传输[2-4]。此时可以用TRACE 3-D、PARMILA、PARMTEQ等程序进行计算，但是它们在计算强流束的传输时都不经过迭代计算，所得结果不是自洽解[5-11]。

为了得到强流脉冲束在电四极透镜中传输时的自洽解，采用矩阵法给出电四极透镜中束流的传输矩阵，采用优化方法实现给定的光学条件，采用迭代方法计求得自洽解。

1 电四极透镜的传输理论

束流传输系统的设计与研究有矩阵法和轨迹方程法两种数值计算方法。

矩阵法：根据束流传输理论，束流可用一个六维相空间椭球来描述，传输元件对束流运动的作用可以用传输矩阵算子表示。矩阵法就是根据给定的初始束流相空间椭球，通过计算传输矩阵算子，设计束流传输系统使得传输后的束流相空间椭球符合要求。

轨迹方程法：采用对带电粒子在电磁场中的运动方程直接积分的方法来设计束流传输系统。积分中，各个传输元件所产生的电磁场是预先给定的，它既可以是实验测量值，也可以是数值计算结果。

本文采用矩阵法描述脉冲束流在电四极透镜中的传输。非强流脉冲束在电四极透镜中的传输时，不需要计入空间电荷力，电四极透镜的传输矩阵为：

国家自然科学基金项目（21063007），江西省科技支撑计划项目（2010BGB00602），江西省教育厅科学技术研究项目（GJJ11677）资助

强流脉冲束在电四极透镜中的传输时，需要计入空间电荷力，由于空间电荷场与束流粒子轨迹相互依赖，计算强流脉冲束传输的自洽解，必须把电四极透镜的场作用区均匀分成若干个区间，每个区间 [ zi-1,zi]的传输矩阵为：

2 程序的计算方法

在计算束流在电四极透镜中的传输时，先计算非强流脉冲束流的传输，采用优化方法自动调整元件的参数，束流粒子的轨迹通过传输矩阵的直接相乘计算得出；然后计算强流脉冲束的传输，采用迭代方法计算束流的空间电荷效应。计算束流的空间电荷效应时，首先，把电四极透镜均分成i个区间，把束流流强分成j等份；其次，在第1区间，调用相应数组中的考虑空间电荷时电四极透镜中的传输矩阵(式(2))，进行迭代计算，可以计算出第1区间的j级传输矩阵和j级束流包络；再次，重复上述步骤，依次计算第 2至 i区间的j级传输矩阵和j级束包络；最后，把元件第1至第i区间的j级传输矩阵依次连乘可以得到考虑空间电荷效应时电四极透镜的总矩阵，替换原先存储在相应数组中的不考虑空间电荷效应时电四极透镜的总矩阵。下面介绍优化方法和迭代方法。

2.1 优化方法

最优化计算是加速器粒子动力学设计的重要手段，它不但能够使设计方案更加合理，而且可以大大节省计算时间。本程序使用直接寻优优化方法，直接寻优方法不需要计算目标函数的导数，它们适合于这样一些问题：目标函数非常复杂，或者根本写不出其解析式，故很难计算其导数。直接寻优方法属于共轭梯度法，共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，不需要矩阵存储。其优点是所需存储量小，具有较快的收敛速度和二次终止性等优点，而且不需要任何外来参数。直接寻优方法的计算步骤为：

2.2 迭代方法

由雅可比迭代公式可知，在迭代的每一步计算过程中是用 x(k)的全部分量来计算 x(k+1)的所有分量，显然在计算第i个分量时，已经计算出的最新分量, L ,没有被利用。有理由认为新计算出来的分量可能比上次迭代得到的分量有所改善。希望充分利用新计算出来的分量以提高迭代解法的效率，这就是高斯-赛德尔迭代法。

本程序采用高斯-塞德尔迭代法，相比雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的优点是在电算时只需一组存储单元，并且具有更快的收敛速度。本程序迭代方法的基本步骤为：

3 模拟计算

为了验证理论和计算方法的科学性，保证本程序的可靠性，用本程序与TRANSPORT及TRACE 3-D进行了模拟计算比较。图1为用来模拟计算的束流传输系统，由离子源、漂浮空间、电四极透镜和靶室等组成。已知离子的初始能量为35keV，质量数和电荷数均为1。

图1 束流传输系统Fig.1 Beam transfer system.

表 1为本程序与TRANSPORT在不同束流流强条件下的束流包络曲线模拟值。当束流流强为5mA时，本程序和TRANSPORT的模拟值很接近，可以说明束流流强较小时，本程序和TRANSPORT的模拟值吻合较好，从而证明本程序模拟的可靠性。从表 1容易发现：随着束流流强增大，本程序的模拟值也逐渐增大。这是因为束流流强越大，束流的空间电荷效应越强，空间电荷效应对束流包络曲线横向发散作用越显著。

图2为本程序和TRACE 3-D模拟不同束流流强条件下束流包络曲线图。从图2(a)~(b)可以看出，本程序和TRACE 3-D的模拟图吻合较好，说明在束流流强较小时，计算空间电荷效应时是否采用迭代方法对结果影响不大。从图2(c)~(f)容易看出，随着束流流强增大，本程序和TRACE 3-D的束流包络曲线模拟图的偏离逐渐增大。这是因为束流流强越大，空间电荷效应对束流包络曲线横向发散作用越显著，非自洽解与自洽解的偏差越大。

图2 束流传输横向包络Fig.2 Transversal envelope of beam transfer.

4 结论

本文用矩阵法分析了强流脉冲束流在电四极透镜中的传输矩阵，在此基础上用迭代方法计算强流脉冲束流的传输。通过与其他现有模拟程序进行对比分析，可以看出，本程序的模拟结果是准确和可靠的。本程序在计算空间电荷效应时用迭代法逐次逼近，直到前后两次计算结果之差满足所要求的精度为止(即达到前后自洽)，因此其计算结果是自洽的，相比其他程序，具有优越性。模拟结果表明：束流流强越大，束流的空间电荷效应越强，空间电荷效应对束流包络曲线横向发散作用越显著，非自洽解与自洽解的偏差也越大。

1 谢文楷. 带电粒子束的理论与设计[M]. 北京: 科学出版社, 2009 XIE Wenkai. The theory and design of charged-particle beam[M]. Beijing: Science Press, 2009

2 茅乃丰, 肖美琴, 李增海. 用于束流输运计算的TRANSPORT-EM程序[J].原子能科学技术, 1986, 20(6):117–119 MAO Naifeng, XIAO Meiqin, LI Zenghai. TRANSPORTEM—a program used for calculating beam line[J]. Atomic Energy Science and Technology, 1986, 20(6): 117–119

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