平行度误差的关键问题探讨与软件测试

林 翔

（福建商业高等专科学校，福建 福州 350012）

1 平行度误差的关键问题

定向误差评定的关键问题在于基准的确定，空间平行度误差的评定也不例外。探讨空间平行度误差评定，按基准来区分，要考虑有2大类4种情况：一类是基准为空间平面，被测对象分空间直线和平面2种，可简称为“线对面”平行度误差、“面对面”平行度误差；另一类是基准为空间直线，被测对象同样也分空间直线和平面 2种，简称为“线对线”平行度误差、“面对线”平行度误差。

1.1 基准已知，精确给定

如果基准是已知的，是精确给定的，按文献[1]规定上述4种问题的解决相对简单一些：

“线对面”、“面对面”：只要求出被测直线或被测平面上所有测量点到基准平面的最大距离与最小距离，二者之差即为其平行度误差值；

“线对线”：以基准直线的方向矢量为法矢作一平面，令被测直线上所有测量点投影到该平面，对所有投影点求最小外包圆，则此圆之直径即为其平行度误差值；

“面对线”：以基准直线的方向矢量为法矢作一平面，令被测平面上所有测量点投影到该平面，对所有投影点求二维直线度误差，则此直线度误差值即为平行度误差值。

因此在基准已经给定时，上述4种情况下求平行度误差的核心问题是求“最小外包圆”直径与“二维直线度误差”，而此二问题的求解在文献[2,3]中已有详细阐述，且所求的最小外包圆直径与二维直线度误差值的精度非常高，可以直接引用，此处不作赘述。

1.2 基准未明确给出

如果基准未明确给出，而是通过测量得到的，那么就必须先对基准的测量点集进行平面拟合或空间直线拟合，以确定基准，进而按上一部分所述的4种情况处理，最终求出相应的平行度误差值。显然，这种情况下基准的拟合认定，就成为了误差评定的关键。

国标[1]规定“由基准要素建立基准时，基准为该基准要素的拟合要素。拟合要素的位置应符合最小条件”。按此要求，基准为空间直线的，可以引用文献[4]提供的方法求取，以该算法得出的空间直线度误差符合“最小区域”原则，因此所拟合的直线必然符合“最小条件”要求。从文献[4]罗列的算例来看，其空间直线度误差评定的精度极佳，超过目前业界绝大部分常见的主流软件。

基准为平面的，也同样要对平面测量点集进行平面拟合，拟合的硬指标也是要符合“最小条件”原则，以下对此关键问题展开探讨。

2 基准平面拟合

基准平面上测量点集 P={Pk(xk, yk, zk)，k=1～n}，设基准的拟合平面为π0，其法矢记作(l，m，1)，按文献[1]关于“最小条件”的规定，求π0其实就是求“平面度误差”的过程，而且求取平面度误差的算法必须符合“最小区域”原则，这样求得的拟合基准平面π0才满足要求，可以作为基准使用。

“平面度误差”属于形位误差中之形状误差范畴，现行的平面度误差算法很多，如借助matlab[5]、LABview[6]等专业软件包或著名的“PC_DMIS”软件[7]来设计算法的，也有利用改进蜂群算法[8]来开发算法的，但其中符合“最小区域”原则的高精度算法乏善可陈，有的算法过程复杂却难以实用，有的甚至不具备收敛于“最小区域”的机制。为此，有必要针对关键问题重新建立数学模型并寻求符合“最小区域”原则的算法。

2.1 平面拟合的数学模型

点集P为平面上n个测量点之集合，P={Pk(xk,yk, zk)， k=1～n}， 拟 合 平 面 方 程 为 π0：

按“最小区域”原则，拟合平面的目标函数：δ=max(δk)+min(δk)，(k=1～n)；

令目标函数f = min(δ)成立，就可求出平面π0的各个参数 l、m、d，所得的 π0就是符合“最小条件”的拟合基准平面。

2.2 计算方法

f = min(δ)是离散型的，可以求其数值解，使得f趋于极小，即f=δ--→min。

算法的思路是先以“最小二乘平面”求取初始的拟合平面π0，获得初始平面度误差δ0值；然后不断有意识地改变初始平面 π0（指 π0法向量(l,m,1)），使初始 π0朝着可能降低 δ0值的方向转动，从而使计算过程达到δ0值趋于min的目的。

显然，算法的关键是在后面的过程。

不妨记以“最小二乘平面”拟合得到的初始平面 π0: l x + m y + z + d = 0 ，点集P中距初始 π0距离最大者为 Pi、最小者为 Pj，对应的距离为 δi、δj，Pi、Pj在π0的投影点分别为Ai、Aj，自然AiPi=δi，AjPj=δj，记 δ0=|δi|+|δj|，如图 1 所示。

图1 初始拟合基准平面与测点关系

沿 AiPi距 Ai距离 ξ远处取点是一个甚小值）；同样在AjPj上取点记’中 点 Aij， 于 π0上 求 点满 足

图2 π0、与各测点及投影点关系

δ’并不是平面的平面度误差，因此究竟转动得到的能否把δ0降下来，还需通过P对计算平面度误差值δ，并与δ0作比较，分以下3种情况进行判断：

（1）若 δ＜δ0，平面取代平面 π0，然后再依上法对平面π0作微小转动；

（2）若 δ≥δ0，则减小 ξ值，重新在原 π0基础上求，再通过点集P对计算δ值，判断δ＜δ0是否成立：

a）如果成立，类同（1）情况，按（1）操作；

b）如果不成立，继续减小ξ值，重新在原 π0基础上求，并返回（1）；

（3）若ξ已减小为非常小的值，达到精度要求，也不能经转动π0而把δ0降下来，则计算过程终止，π0就是所求的拟合基准平面。

π0是依“最小区域”原则求取得到的，因此满足“最小条件”要求。

2.3 算法框图与编程测试

按照上述算法思想，算法框图包括“以最小二乘法求初解δ0”与“逐步使δ0趋于min”两个主要过程，如图3所示。

图3 基准平面拟合算法框图

据此，笔者用C语言编程，并收集了50多个关于“平面度误差”的算例加以验算。从国标[1]易知，对于给定的点集，平面度误差的评定值越小，则拟合的平面越符合“最小条件”。软件经过50多个算例测试，结果均表明以本算法计算得到平面度误差值都等于或小于原文的值，说明本算法拟合的平面更加理想。兹随选若干算例略作比较说明：

文献[5-9]中各给出了一个平面度误差算例，原文得到的误差值依次是：8.971 μm、2.026 8 μm、0.595 71 mm、0.154 87 mm、0.075 392 8；用本算法进行计算，平面度误差依次为8.971 μm、1.9143 μm、0.577 350 mm、0.154 87 mm、0.065 163。显然本算法求得的平面度误差值精度更高，因此求得的相应的拟合平面更符合“最小条件”。

3 平行度误差软件测试

3.1 平行度误差计算

解决了高精度的“空间直线拟合”、“平面拟合”问题，也就解决了平行度误差评定中基准拟合的关键问题，平行度误差评定所涉及的 4种类型，都迎刃而解了：

“线对线”：以文献[4]的方法拟合基准直线，在此基础上以文献[3]求最小外包圆，输出直径值；

“面对线”：同上法拟合基准直线，在此基础上以文献[2]求二维直线度误差，输出该值；

“线对面”、“面对面”： 以本文前述的方法拟合基准平面，基于此基准平面求出被测对象上所有测量点至基准的最大、最小距离，求出二者之差并输出。

3.2 编程与测试

平行度误差高精度评定软件用 C语言编程，功能包括上述4项。通过数十个算例的测试，结果表明该软件是稳定可靠的，计算得到平行度误差值具有高精度性。以下针对上述4种类型选5个算例略作说明。

“线对线”：文献[10]给出的算例，其基准直线上分布9个测量点，被测直线上有5个测量点。原文的平行度误差为0.740 598 μm；本软件计算得到的平行度误差为2.057 695 μm（基准的直线度误差为 3.701 226 μm）；

“面对线”：依然是文献[10]的算例，基准直线上分布9个测量点，被测平面有16个测量点。原文的平行度误差为10.678 857 μm；本软件计算得到的平行度误差为5.695 15 μm（基准的直线度误差为 0.544 669 μm）；

“线对面”：还是文献[10]的算例，其基准平面上分布9个测量点，被测直线上有8个测量点。原文的平行度误差为0.659 μm；本软件计算得到的平行度误差为13.384 616 μm（基准的平面度误差为 6.307 692 μm）；

“面对面”：文献[11]给出的算例，其基准平面、被测平面上各有9个测量点。原文的平行度误差为64.2 μm（基准平面度误差为32.950 1）；本软件计算得到的平行度误差为 64.199 967 μm（基准的平面度为32.925 0 μm）。

文献[12]给出的“面对面”算例，其基准平面、被测平面上各有 20个测量点。原文的平行度误差为0.049 mm（基准的平面度误差为3.519 142 mm）；本软件计算得到的平行度误差为1.866096 mm。（基准的平面度误差为2.508 97 mm）。

4 结语

平行度误差的评定，基准的拟合是技术的关键。平行度误差评定结果的精度如何，取决于基准的拟合是否符合“最小条件”原则。基准为空间直线的，其拟合问题已经得到较好的解决，本文主要解决基准为平面时的高精度拟合问题。从平面拟合的数模、算法、编程，以及大量的软件测试结果来看，平面拟合是符合“最小条件”原则的。

在这个基础上，笔者研发了一个完整的平行度误差的评定软件，功能齐全，运算稳定；同样经过大量的算例测试，测试结果充分说明了其高精度性，软件达到了研发目的，较之目前业界平行度误差评定的主流程序，本软件在计算精度上有一定的优势。

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