单向复合材料矩形截面非圆柱螺旋弹簧固有频率的参数研究

郝 颖，虞爱民

(同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092)

非圆柱(锥形、桶形、双曲形)螺旋弹簧的特性线具有很强的非线性，能够适用于多种受限制的安装空间，在工程实际中得到了大量的应用[1－3]。簧丝截面为非圆形的非圆柱螺旋弹簧，具有蓄存能量大、有效平缓应力分布、压并高度低，压缩量大等优良性能[4]，被广泛用于发动机阀门、离合器和自动变速等装置上。

由于复合材料具有强度高、耐腐蚀、电绝缘性好、比重小、可设计性强等诸多优点，在工程实际中逐渐开始使用复合材料来制备弹簧。但目前复合材料在弹簧制造领域的应用还非常有限，现有的尝试多是用来加工板簧，对于应用范围最广的螺旋弹簧的研发很少[5]，而对于螺旋结构更为复杂的非圆柱螺旋弹簧的研究则更为罕见。只有很少的文献[6－8]涉及到此类问题，其中最重要的工作就是Yildirm[6]在文献[9]的基础上导出了各向异性材料空间曲杆的运动微分方程，然而她在方程中并没有考虑杆件横截面翘曲变形的影响。Yildirim[7－8]又利用传递矩阵法研究了单向复合材料非圆柱螺旋弹簧的自由振动，但研究中所考虑的簧丝截面均为圆形，因而无从考虑翘曲变形对自由振动特性的影响。文献[10－11]已经研究了各向同性材料非圆截面圆柱螺旋弹簧的自由振动问题，计算表明，即使对于此类弹簧，翘曲变形对固有频率也有着较大的影响，在它们的振动分析中应该加以考虑。

鉴于目前对复合材料非圆截面非圆柱螺旋弹簧理论研究工作的缺乏和均未考虑翘曲变形的情况，本文首先把自然弯扭梁理论推广到材料为各向异性的情况，导出了单向复合材料矩形截面非圆柱螺旋弹簧的运动微分方程，它们由14个变系数的一阶偏微分方程组成。方程中不仅考虑了各种经典效应的影响，而且首次考虑了簧丝截面翘曲变形的影响。此外，在文献[12]的基础上，可以导出单向复合材料矩形截面杆件的圣维南扭转翘曲函数。在增加了广义翘曲坐标和广义翘曲力矩两个自由度后，方程呈现出很强的刚性，本文采用改进的 Riccati传递矩阵法[13－14]对该弹簧的自由振动微分方程进行求解。

1 考虑翘曲效应的各向异性自然弯扭梁理论

图1 各向异性自然弯扭梁的几何关系Fig.1 Geometry of naturally curved and twisted anisotropic beams

1.1 几何关系和广义虎克定律

设各向异性自然弯扭梁横截面形心的轨迹是一根连续的空间曲线，曲线 l的切线，主法线和次法线单位矢量分别用t，n，b表示。为了考虑梁的初始扭曲，引入直角坐标系x1ξη，如图1所示。x1轴与曲线的切线t重合，ξ轴与曲线主法线n之间的夹角记为θ，它通常是弧坐标s的函数。用iξ和iη表示O1ξ和O1η方向的单位矢量，则

式中:上标撇号表示对弧坐标s的微分。kξ=k1sinθ，kη=k1cosθ，ks=k2+ θ'，k1，k2分别为曲线的曲率和扭率。

线弹性复合材料的广义虎克定律定义如下[15]:

式中:

式中:σs，σξ，ση，τξη，τsη，τsξ分别为杆件内任意一点的三个正应力和三个切应力，ess，eξξ和 eηη分别为相应方向的线应变，2eξη，2esη和 2esξ分别为该点在三个坐标平面内的工程切应变。根据经典层合板理论，应力与应变的关系可以简写为:

式中系数Qij的表达式参见文献[6]。

1.2 本构方程

对于单向复合材料，经计算可得Q15=Q51=Q16=Q61=Q56=Q65=0。如果假设ξ，η轴为横截面的形心主轴且不考虑杆件的初始扭曲，则有 I23=∬Aξηdξdη=0，kξ=0，根据文献[16]并利用式(4)，梁的内力和内力矩可以简化为:

其中:

式中:εs，εξ和εη为杆轴上一点沿三个坐标方向的线应变，ωs，ωξ和ωη为杆轴单位长度的三个相对转角。φ为圣维南扭转翘曲函数，α是广义翘曲坐标。引入广义翘曲力矩的概念，其定义为:

式中:

如果在方程组(5)和方程(6)中代入线应变和相对转角的表达式[16]，则可以得到用六个位移函数us(s，t)，uξ(s，t)，uη(s，t)，φs(s，t)，φξ(s，t)，φη(s，t)和 α(s，t)表示的本构方程。

1.3 运动微分方程

自然弯扭梁在考虑翘曲效应情况下的运动微分方程可以改写为[16]:

广义翘曲力矩T(s，t)对弧坐标s的一阶导数则为:

式中:

图2 单向复合材料矩形截面杆件示意图Fig.2 Schematic diagram of unidirectional composite bars with rectangular cross-section

把方程组(5)、方程(6)和(8)中的线应变和相对转角用六个位移函数代入，然后对方程组(5)和方程(6)进行联立求解，可以得到各位移函数和广义翘曲坐标关于弧坐标s一阶导数的表达式，再利用这个结果来消去方程(8)中的这些导数，最后把所得方程和方程组(7)进行组合即可得到单向复合材料自然弯扭梁的运动微分方程，它们由14个变系数的一阶(关于弧坐标s)偏微分方程组成。

1.4 单向复合材料矩形截面杆件的扭转翘曲函数

设单向复合材料矩形截面杆件如图2所示，记α2=Gxξ/Gxη，γn=nπ/2a，cn=16a2(－ 1)(n－1)/2/n2π2，n=1，3，5，…，在文献[12]的基础上可以导出单向复合材料矩形截面杆件的扭转翘曲函数，即:

2 单向复合材料矩形截面非圆柱螺旋弹簧的运动微分方程

如图3所示，非圆柱螺旋线是一条变曲率、变扭率的空间曲线，其几何关系为:

图3 非圆柱螺旋线的几何性质Fig.3 Geometry of a typical non-cylindrical helix

图4 不同类型的非圆柱螺旋弹簧Fig.4 Different types of non-cylindrical helical springs

双曲形和桶形弹簧螺旋线上任意点的半径为:

式中:R1和R2分别为螺旋线的最大和最小半径(对锥形和桶形弹簧)或最小和最大半径(对双曲形弹簧)。如果令 ps=pξ=pη=ms=mξ=mη=0，同时假设单向复合材料矩形截面非圆柱螺旋弹簧作频率为ω的简谐运动[2]，利用 ds=c(β)dβ，并注意到与矩形截面翘曲函数φ(ξ，η)有关的积分 D1，D2，…，D16中有一些项等于零，则可以得到该弹簧的自由振动微分方程为:

在增加了广义翘曲坐标和广义翘曲力矩两个自由度后，该方程呈现出很强的刚性，本文采用文献[13－14]中改进的Riccati传递矩阵法对上述微分方程组进行求解，单元传递矩阵则采用Scaling-Squaring方法以及Pad'e逼近表达式进行计算。

3 数值算例

设两端固支单向复合材料非圆柱螺旋弹簧的材料(T300/N5208)和几何性质分别为:E1=181 GPa，E2=E3=10.3 GPa，G12=G13=7.17 GPa，G23=3.433 GPa，μ12=0.28，ρ=1 600 kg/m3。矩形截面沿 ξ方向的边长用2a表示，沿η方向的边长用2b表示。螺旋线的最大、最小半径R1，R2，弹簧的工作圈数n，螺旋角，剪切形状因子 Gξ=Gη=0.842，扭转翘曲函数如式(9)所示。

算例1

取R1=10 mm，R2=6 mm=5°，n=4，2a=1 mm，2b=0.4 mm。在对3种不同形状的弹簧进行有限元分析时，均将其划分成720个Solid46实体层合单元。为了与有限元结果进行比较，采用本文方法对弹簧的前5阶固有频率进行了计算。表1～3综合了这3类弹簧在考虑与忽略翘曲影响得到的计算结果和有限元的结果。

算例2

取R1=10 mm，R2=6 mm=5°，n=4，表 4 综合了不同宽高比对单向复合材料矩形截面锥形弹簧固有频率的影响。

表3 单向复合材料矩形截面桶形弹簧的前五阶频率(R1=10 mm，R2=6 mm)Tab.3 The first five frequencies of unidirectional composite barrel springs with rectangular cross-section

表4 宽高比a/b对矩形截面锥形弹簧频率的影响Tab.4 The effect of the aspect ratio(a/b)on frequencies of conical-type spring with rectangular cross－section

算例3

表5 R2/R1对矩形截面锥形弹簧频率的影响Tab.5 The effect of(R2/R1)on frequencies of conical-type spring with rectangular cross-section

算例4

取 R1=10 mm，R2=6 mm，2a=1 mm，2b=0.6 mm，n=4，表6综合了不同的螺旋角对单向复合材料矩形截面锥形弹簧固有频率的影响。

表6 螺旋角对矩形截面锥形弹簧频率的影响Tab.6 The effect of helix pitch angle)on frequencies of conical-type spring with rectangular cross-section

表6 螺旋角对矩形截面锥形弹簧频率的影响Tab.6 The effect of helix pitch angle)on frequencies of conical-type spring with rectangular cross-section

频率阶次1 2 3 4 5 α =4° 有限元 191.21 355.44 426.86 490.75 573.09本文解 192.48 357.31 427.69 493.74 577.03 α =5° 有限元 190.46 352.02 412.16 469.82 559.80本文解 192.46 355.07 415.11 474.32 564.43 α =6° 有限元 189.61 349.21 397.16 443.15 547.25本文解 191.63 351.68 400.02 449.97 551.36 α =8° 有限元 187.20 335.26 359.31 391.75 519.59本文解 190.40 338.67 365.91 402.63 527.32 α =10° 有限元 185.14 305.20 318.65 363.05 496.21本文解 188.07 313.85 330.02 372.86 506.94

算例5

取 R1=10 mm，R2=6 mm，2a=1 mm，2b=0.6 mm=5°，表7综合了不同的工作圈数对单向复合材料矩形截面锥形弹簧固有频率的影响。

表7 工作圈数n对矩形截面锥形弹簧频率的影响Tab.7 The effect of helix coil number(n)on frequencies of conical-type spring with rectangular cross-section

4 结论

本文采用改进的Riccati传递矩阵法研究了单向复合材料矩形截面非圆柱螺旋弹簧的自由振动特性，并首次在弹簧的控制方程中考虑了簧丝截面的翘曲变形对固有频率的影响。同时，本文在较宽的范围内，给出了各种参数变化对矩形截面锥形弹簧固有频率的影响:

(1)从表1～3可以看出，对于单向复合材料矩形截面的非圆柱螺旋弹簧，翘曲变形对其固有频率具有重大的影响，是必须考虑的重要因素。不考虑翘曲变形时，计算所得前5阶频率的平均误差为36.25% ～44.37%，而考虑翘曲变形后，计算所得平均误差为0.65% ～1.24%。显然，在考虑了翘曲变形后，用本文方法得到的解和有限元结果吻合得很好。

(2)当材料性质和螺旋线的最大、最小半径，螺旋角，工作圈数，以及截面面积都相同的情况下，双曲形弹簧的刚度最大，其固有频率最高，锥形弹簧次之，桶形弹簧的固有频率最低。

(3)从表4可以看出，对于单向复合材料矩形截面锥形弹簧，固有频率随着矩形截面面积的增大而增大。

(4)从表5～7可以看出，随着螺旋线的最小半径、螺旋角和工作圈数的增大，弹簧的长度增加，而系统的刚度变小，则固有频率也随之减小。此外，随着这些参数的增加，频率开始变得相互接近。

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