有限幂导p-群关于幂导嵌入的一些性质

毛月梅，马小箭

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

有限幂导p-群关于幂导嵌入的一些性质

毛月梅，马小箭

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

在A.Mann等人研究的幂导p-群的基础上，给出了幂导p-群关于幂导嵌入子群的一些基本性质。关键词：有限p-群；幂导嵌入；正则；交换

对有限p-群，Φ（G）＝G′U1（G），当p＝2时，G′≤U1（G）。当p＞2时，则此结论不一定成立。基于这样的事实，Lubotzky和A.Mann于1987年首次在文献[1]中提出了幂导p-群以及幂导嵌入的概念，并介绍了关于幂导性的一些基本性质。L.Hethelyi在2003年的文献[2]中得出了有限幂导p-群满足|Λ1（G）|≤|G∶U1（G）|的重要结论。而Marcin Mazur在2007年的文献[3]推广了L.Hethelyi的结论得出了|Λ1（G）|≤|G∶U1（G）|对一切正整数i都成立。在文献[4]中也给出了关于幂导p-群的一些性质。在此基础上，又推出了幂导p-群关于幂导嵌入的一些性质。以下给出用到的一些主要定义.

定义1称有限p-群G为幂导p-群，若p＞2，有 G′≤U1（G）；若p＝2，有G′≤U2（G）。

定义2设G为有限p-群，N为G的正规子群，若p＞2，有［N，G］≤U1（N）；若p＝2，有［N，G］≤U2（N），则称N幂导嵌入于G。

引理1[1]若M，N幂导嵌入于G，那么［N，G］，U1（N），［N，M］，都幂导嵌入于G。

引理2[1]设G为有限p-群，若d（G′）＝2，那么G3≤Z（G）。

引理3[5]正则p-群G是p-交换群当且仅当U1（G′）＝1。

引理4[6]设G为有限p-群，那么[U1（Gn），sGk]≤U1（Gn+sk）Gpn+sk。

引理5[7]若G是有限幂导p-群，那么Ui（Uj（G））＝Ui+j（G）。

以下定理所涉及的正整数p，均指p＞2的奇素数。

定理1设G为有限p-群，若G′二元生成且非交换，那么G3幂导嵌入于G′。

定理2若G是有限幂导p-群，那么Ui（G）（i≥1）幂导嵌入于G。同时有U1（Ui（G））＝U1+i（G）。

证明 对i进行归纳来证明Ui（G）幂导嵌入于G。当i＝1时，结论显然成立。假设Ui（G）幂导嵌入于G，下证Ui+1（G）幂导嵌入于G。在此假设下首先对|G|进行归纳来证明等式U1（Ui（G））＝U1+i（G）。显然U1+i（G）≤U1（Ui（G）），下证U1（Ui（G））≤U1+i（G）。不妨设Ui+1（G）＝1。 设N是G的包含于Ui（G）的极小正规子群，考虑G/N。 因|G/N|＜|G|，对|G|归纳知U1（Ui（G））≤N，又因Ui（G）幂导，故U′i（G）≤U1（Ui（G））≤N≤Z（G），因此c（Ui（G））≤2，所以Ui（G）正则，又Ui+1（G）＝1，故U1（Ui（G））＝1。所以有U1（Ui（G））＝U1+i（G），由引理1知Ui+1（G）幂导嵌入于G。

推论3若G是有限幂导p-群，其中k为正整数，那么：

（1）[Uk（G），G]≤Uk+1（G），

（2）Gk≤Uk-1（G），

（3）[U1（G），Gk]≤Uk+1（G）。

证明（1）因为G幂导，故由定理1知Uk（G）也幂导，所以[Uk（G），G]≤U1（Uk（G））＝Uk+1（G）。

（2）对k进行归纳，当k＝1时，结论显然成立。假定Gk≤Uk-1（G），那么Gk+1＝[Gk，G]≤[Uk-1（G），G]≤U1（Uk-1（G））＝Uk（G）。

（3）由引理4以及（2）知[U1（G），Gk]≤U1（G1+k）Gp+k≤U1（G1+k）Up+k+1（G）≤U1（Uk（G））Gp+k-1（G）≤Uk+1（G）。

定理4若G是方次数为p2的幂导p-群，那么G为p-交换群。

证明 因G的方次数为p2，故有U2（G）＝1，又G幂导，所以[U1（G），G]≤U2（G）＝1，即G′≤U1（G）≤Z（G），所以G正则。又由引理5知U1（G′）≤U1（U1（G））＝U2（G）＝1，所以由引理3知G为p-交换群。

定理5 设G为有限p-群（p＞2），若d（Gn）＝n，那么Gn是幂导p-群。

证明 不妨设U1（Gn）＝1，下证＝1。 若否，假

[1]Mann A，Alexander Lubotzky.Powerful p-group I finite Groups[J].JAlgebra，1987：484-505.

[2]Hethelyi L，Levai L.On elements of order p in powerful p-groups[J].JAlgebra，2003（270）：1-6.

[3]Marcin Mazur.On powers in powerful p-groups[J].Journal of Group Theory，2007（10）：431-433.

[4]毛月梅，马小箭.有限幂导p群的一些基本性质[J].山西大同大学学报：自然科学版，2009，25（2）：18-19.

[5]Alperin JL.On a special class of regular p-groups[J].Tran Amer Math Soc，1963（106）：77-99.

[6]Deane E.Arganbright.The power-commutator structure of finite p-groups[J].Tran Amer Math Soc，1969（29）：11-17.

[7]Mann A.Fania Posnick-Fradkin.Subgroups of powerful groups[J].Isra JMath，2003（138）：19-28.

〔责任编辑 高海〕

Some Properties of Finite Powerful p-groups about Powerfully E embedded

M AO Yue-mei，M A Xiao-jian
（School ofMathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

This paper gives some other properties of powerfully embedded subgroups of finite p-groups on the base of powerful p-groupswhich were discussed by A.Mann.

finite p-groups；powerfully embedded；regularly；abelian

O175.12

A

1674-0874（2012）04-0004-02

2012-03-15

毛月梅（1980-），女，山西神池人，硕士，讲师，研究方向：群论。