随机变量部分和之和的Lr收敛性

赵丽媛，王文胜，伊艳娟

（杭州师范大学理学院，浙江杭州310036）

随机变量部分和之和的Lr收敛性

赵丽媛，王文胜，伊艳娟

（杭州师范大学理学院，浙江杭州310036）

利用截尾和矩不等式方法，研究在剩余Cesàroα可积条件下NA序列部分和之和的Lr（1≤r＜2）收敛性和φ混合序列部分和之和的Lr（r＞2）收敛性，推广和改进了一些已有的结果.

剩余Cesàroα可积；Lr收敛性；NA序列；φ混合序列；部分和之和

0 引 言

对随机变量序列｛Xi；i≥1｝，记S，称Xi的部分和；，称为Xi的部分和之和；则对每个自然数n显然有T＊n＋Tn＝（n＋1）Sn.

随机变量“部分和之和”的极限理论，是Resnick［1］和Arnold等［2］在研究记录值的极限理论时发现的.在实际问题如随机游动、破产理论及时间序列理论中均有必要研究“部分和之和”.基于此，文献［3－4］分别研究了独立同分布随机变量列“部分和之和”的强、弱大数定律和中心极限定理，得到了部分和之和与部分和有一致的收敛条件.

近年，T.K.Chandra等提出了剩余Cesàroα一致可积和r阶剩余Cesàroα一致可积的概念.

定义1［5］设α＞0，随机变量序列｛Xn，n≥1｝被称为Cesàroα一致可积，如果下面两个条件成立：

定义2 设α＞0，随机变量序列｛Xn，n≥1｝被称为剩余Cesàroα一致可积，如果下面两个条件成立：致可积要弱.

定义3 对于α∈（0，∞），r∈（0，∞）称随机变量是r阶剩余Cesàroα一致可积，若满足

文献［5］研究了在剩余Cesàroα可积下随机变量部分和的Lr（0＜r＜1）收敛性，本文研究了在剩余Cesàroα可积条件下NA序列部分和之和的Lr（1≤r＜2）收敛性和φ混合序列部分和之和的Lr（r＞2）收敛性，得到了部分和之和与部分和有一致的收敛条件.

定义4［6］称随机变量X1，X2，…，Xn，n≥2是负相关（Negatively Associated，下简记为NA）的，若对｛1，2，…，n｝的任意两个非空不交子集均有

其中fi，i＝1，2是使上述协方差存在的且对每个变元均非降（或均非升）的函数.

称随机变量｛Xn；n≥1｝是NA列，如果对任意n≥2，X1，X2，…，Xn是NA的.

定义5［7］设｛Xn；n≥1｝是随机变量序列，记

其中n≥0.若当n→∞时，φ（n）→0；则称｛Xn；n≥1｝是φ －混合随机变量序列.

引理1［6］设｛Xn；n≥1｝是NA的，∀n≥2，A1，A2，…，An是集合｛1，2，…，n｝的两两不交的非空子集.记ai＝＃（Ai），即为Ai中元素个数，如果fi：Rai→R，i＝1，2，…，m是对每个变元都非降（或同为对每个变元都非升）的函数，则f1（Xj；j∈A1），…，fm（Xj；j∈Am）是NA的.

引理2［8］设｛Xn；n≥1｝是NA序列，EXi＝0，1≤q≤2，E Xiq＜∞，i∈N，则存在仅依赖于q的正常数C，使

1 主要结论及其证明

定理3得证.

［1］Resnick S L.Limit laws for record values［J］.Stochastic Processes and Their Applications，1973，1（1）：67－82.

［2］Arnold B C，Villasenor J A.The asymptotic distributions of sums of records［J］.Extremes，1988，1（3）：351－363.

［3］江涛，苏淳，唐启鹤.I.I.D随机变量部分和之随机和的极限定理［J］.中国科技大学学报，2001，31（4）：394－399.

［4］江涛，林日其.I.I.D随机变量部分和之和的极限定理［J］.淮南工业学院学报，2002，22（2）：73－75.

［5］Chandra T K，Goswami A.Cesàroα－integrability and laws of large numbers：II［J］.Theoret Probab，2006，19（4）：789－816.

［6］Joag－Dev K，Proschan F.Negative association of random variables with applications［J］.Ann Statist，1983，11（1）：286－295.

［7］Dobrushin R L.The central limit theorem for non－stationary markov chain［J］.Probab Theory Appl，1956（1）：72－88.

［8］杨善朝.随机变量部分和的矩不等式［J］.中国科学，2000，30（3）：218－223.

［9］杨善朝.混合序列加权和的强收敛性［J］.系统科学与数学，1995，15（3）：254－265.

LrConvergence of the Sum of Partial Sum of Random Variables

ZHAO Li－yuan，WANG Wen－sheng，YI Yan－juan
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

Using the means inequality and truncated method.the paper discussed the Lr（1≤r＜2）convergence of the sum of partial sum of NA sequences under the condition of residualαintegrability and the Lr（r＞2）convergence for the sum of partial sum ofφmixing－sequences.The results have extended and improved some existed results.

residual Cesàroαintegrability；Lrconvergence；NA sequences；φmixing－sequences；the sum of partial sum

O211.4 MSC2010：60F15

A

1674－232X（2012）03－0255－04

10.3969／j.issn.1674－232X.2012.03.013

2011－10－03

王文胜（1970—），男，教授，博士，主要从事概率极限理论研究.E－mail：wswang＠stat.ecnu.edu.cn