“以退求进”的教学思考

☉安徽省六安第一中学 陆学政

☉安徽省六安第一中学 谢贻海

“以退求进”的教学思考

☉安徽省六安第一中学 陆学政

☉安徽省六安第一中学 谢贻海

陆学政：中学数学高级教师（2002年破格），安徽省特级教师（2012年元月），安徽省中学数学教学专业委员会理事，六安市学科带头人，2000年获安徽省高中数学优质课比赛一等奖（第二名）及全国二等奖，2001年获安徽省第二届教坛新星评比高中数学第一名，获安徽省“教坛新星”称号，2009年获六安市“模范教师”称号，近几年在CN刊物发表论文20篇.

笛卡儿说，遇到任何一个“真理”都不能轻易接受，除非它可以分解为许多个小的、令我深信无疑的事实；波利亚说，如果我们想不起别的，可以试验这个不熟悉的论断的某个特例.这其中都蕴涵着一个重要的思维策略：以退求进.华罗庚教授更是明确指出，善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.

从哲学的角度，“以退求进”的策略体现了特殊与一般、偶然与必然、个性与共性、具体与抽象、现象与本质的辩证统一.陌生的、抽象的、复杂的、一般性的问题，往往都包含着某些熟悉的、具体的、简单的、特殊性的成分，而对这些成分的分析往往容易得多，同时它们也具有一定的代表性、启示性.因此，通过科学地“退”，通过分析这些具有代表性的事例，从中寻求规律与联系，进而找到原问题的解决途径，是数学学习中经常采用的方法.

关于“退”的策略很多，如：由复杂退到简单、由一般退到特殊、由正面退到反面、由高维退到低维、由动退到静、由不等退到等，由果退到因，等等，这里不再赘述.笔者认为，比“退”的策略更重要的是，教师在教学中如何自如地利用“退”，如何有效地引导学生“退”，如何最终实现使学生学会“退”.以下谈谈笔者对这些问题的初步思考.

一、理解数学，理解学生，才能自如“用退”

“以退求进”，不仅是一种解题策略，而且也是一种教学策略.从数学学科的角度，数学具有高度的抽象性，因此学生对数学问题的理解与掌握往往不可能一蹴而就；从现代认知心理学的角度，数学思维过程是一种信息加工过程，一般需要经历观察与实验、归纳与演绎、比较与分类、分析与综合、抽象与概括等几个环节，才能到达思维的终点；从学生年龄特征的角度，中学生思维水平的发展需要经历从具体形象思维到以经验型为主的抽象逻辑思维，再到以理论型为主的抽象逻辑思维的过程，这是一个不断积累、缓慢提高的过程.这些因素都要求教师在教学中必须自如地“用退”.

如何才能自如地“用退”？关键是教师自身要先“退”，善“退”，“退”到问题的起点，退到学生的现有认知水平.这就要求教师理解数学，理解学生.教师要能用“退”的眼光审视数学问题，准确把握数学问题的来龙去脉、深刻理解数学问题的实质，只有教师自己对数学的内容、思想、方法有较高水平的理解，才可能在教学中自觉地把数学的精神传达给学生，才能为学生学习过程中的“再发现”创造条件；教师要能用“退”的眼光审视学生的知识能力基础，审视学生的心理发展水平，审视学生的思维特点和过程，特别是审视学生学习中可能遇到的障碍及其成因，这样才能明晰为什么要退，退到什么地方，进而采取合理的教学措施引导学生的数学思维活动，实现“低耗能，高回报”.

案例1 “数列与函数关系”的教学

这是“数列的概念与简单表示法（第一课时）”的一个教学环节，也是本节课的难点.在实际教学中，经常见到教师直接引导学生分析序号与项的对应关系及特征，得出数列的函数本质.这样的教学，缺乏学生的主动建构，实质上是一种“告诉教学”，就像“从帽子里掏出一只兔子”.究其原因，主要是教师没有用“退”的眼光审视数列与函数的关系以及学生的认知特点.函数本身是中学数学最抽象的概念之一，而用函数的观点理解数列则更为抽象.若总是在抽象层面思考，没有具体的例证，数学就会变得空洞，学生的思维也需要经历从具体到抽象的过程.那么，什么样的具体例证能够承载数列与函数本质上的统一呢？是数列与函数的表示方法，二者都有表格、图像、式子等不同的表示方法，不同的表示方法又具有内在的统一性：自变量与因变量、序号与项对应关系中的存在唯一性（映射）特征，这就是教学的生长点.

有了上述理解，实施“以退为进”的教学策略也就非常自如了.

1.退——尝试用不同的方法表示一个具体的数列

问题1：对于具体数列，仅用记号{an}并不能反映该数列的实际内涵，那么，有哪些方法可以表示呢？如数列2，4，6，8，….请同学们自己动手，尝试用多种方法表示这个数列.

设计意图：由于简单、具体数列的表示具有很强的实践性，因此学生可以自主操作.在此过程中，教师重点巡查进展情况，鼓励学生用不同的方法表示，更重要的是对学生的表示结果及时给予恰当反馈：肯定成果、指出不足、修正错误.

如，有学生列表如下：

教师提醒：这里，数列的项在变化，其实还有一个量在伴随着它而变化，你能找出来吗？

引导学生完善表格，得到：

又如，有学生作图如下：

教师（含而不露）：这是用图形的方法表示数列.用数轴表示数，很好的主意！请同学们按照此法，把数列8，6，4，2，…在数轴上表示出来.

（学生动手后，马上发现与数列2，4，6，8，…图示的结果完全相同）

教师（及时追问）：两个不同的数列，表示结果完全一样，显然不行.问题出在哪里？请同学们先独立思考，然后相互交流一下看法，并找出解决问题的办法.

指导学生改进图形（项与相应的序号必须“捆绑”，因此必须利用二维坐标表示），得到：

图1

2.进——提炼不同表示法的共性，自然联系到函数

问题2：这三种表示法都涉及哪些量？它们之间有什么关系？这种关系有什么共同特征？你以前见过类似的情况吗？

问题3：已知数列{an}的通项公式为an=2n－1.

①写出该数列的首项、第4项.

②63是该数列的第几项？

③126是否为该数列的项？为什么？

④尝试分析这个数列的性质.

设计意图：在问题2中，学生充分调动观察、比较、分析、概括等各种思维方式，不断接近问题的本质，自主感受到数列与函数的“姻亲”关系，进而将函数的概念、函数的三要素进行“迁移”，得到函数与数列的共同特征和区别.然后通过问题3的具体练习，进一步加深了学生对数列的函数背景的认识与理解.

为了让学生理解抽象的数学结论，“以退求进”，先设置一个学生熟悉的具体情境，把抽象结论寓于其中，使学生经历一个从具体到抽象的过程，学生对数学原理的理解也就变得自然了，数学也就变得具体、形象而生动了.这正是培养学生数学思维能力的“不二法门”.

二、精心设计，激发思维，才能有效“引退”

如果说案例1中的“以进求退”对学生来说是以一种“不露痕迹”的方式进行的，那么更多的“以退求进”则是一种“明目张胆”的形式，要明确地引导学生“退”，让学生通过“退”感受问题的背景，通过“退”揭示问题的实质，通过“退”实现问题的解决，感觉“退”带来的变化，体验“退”带来的力量.这是学生学习过程中必须经历的理解、模仿阶段，也是充分体现教师教学主体作用的阶段，需要教师有效“引退”.

如何才能有效地“引退”？关键是教师要提好的问题、精心设计教学过程，以激发学生的思维.提出的问题要反映当前学习内容的本质，要在学生思维的最近发展区内，这样才能形成认知冲突，使学生的心理保持积极的、适度的求知倾向；教学过程必须让学生有充分的独立思考空间，有足够的思维参与度.这里要注意两点：一是“引退”的方式，若将待解决问题作为“终点”，退回去的初始状态作为“起点”，应尽量采用“终点——起点——终点”的“引退”方式.“起点”最好不是教师主动提供的，而是学生在教师引导下的主动获得；二是“引退”的“度”，“退”不是对思维层次的降低，不是简单地把知识分解为一些没有内在联系的片段，不是忽略内涵与知识整体中的那些综合的思想和策略，不是把高认知要求的数学任务转化为低水平的任务，否则，“退”就失去了最根本的目的——促进学生的思维发展.

案例2 “坐标平面上两点间距离公式”的推导

与针对“点到直线距离公式推导”的教学设计讨论的“红红火火”相比，对“两点间距离公式推导”的教学设计的讨论则显得异常冷清，可能觉得它很简单，没有多少思考的价值吧，对此笔者有不同的看法.“两点间距离公式”的推导，体现了“一维与二维”的辩证关系及化归思想，也是培养学生“以数示形，以形促数，数形结合”思想的较好机会，因此具有很高的教学价值.公式推导的关键是，如何引导学生通过探究，自主构造出以P1P2为斜边的直角三角形.学生只学过数轴上两点间的距离公式，这是一维的问题，而平面上两点间距离是二维问题，一维是二维的特殊情况，二维又是一维的推广.因此，应该将二维问题先“退”到一维的情况；同时考虑到个体的差异性，可能有的学生对数轴上两点间的距离公式也没有牢固掌握，于是作为教学预案，将数轴上其中一点固定为原点（对应实数0），这时，又“退”到数轴上一点到原点的距离，即实数绝对值的几何意义，这就是公式推导的“起点”.

教学设计如下：

1.退——平面到数轴

问题1：你认为什么是平面上两点P1，P2距离的特殊情况？

设计意图：教师“引退”，让学生自己思考“特例”，确定研究的起点.如果有困难，教师可适当启发.学生可能形象地说出“P1P2是水平线段或铅垂线段时最特殊”，这时教师引导学生利用平移将其归结到坐标轴（x轴或y轴）上.

问题2：（1）当P1，P2是数轴上两点的时候，设P1的坐标是x1，P2的坐标是x2，你能求出P1，P2的距离吗？

如学生回答问题（1）有困难，教师可继续设问（再“引退”）：

（2）你认为什么是数轴上两点P1，P2距离的特殊情况？

（3）当P1是数轴原点的时候，你能求出P1，P2的距离吗？进而返回解决问题（1）.

问题3：设平面上两点P1（x1，y0），P2（x2，y0），你能求出P1，P2的距离吗？若改为P1（x0，y1），P2（x0，y2）呢？

设计意图：将数轴的情形迁移到与坐标轴平行（或重合）的情形，但本质并未改变（仍然是一维问题）.

2.进——数轴到平面

问题4：设平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），你认为如何求出P1，P2的距离？

设计意图：为最终解决一般情况下的平面上两点间距离问题，引导学生利用化归思想，在前面“退”的基础上自行找到解决途径（即构造以P1P2为斜边的直角三角形）.

问题5：平面上两点间距离公式对特殊情况也适用吗？公式推导体现了什么样的思考方法？

设计意图：一方面旨在揭示公式的一般性与特殊性的关系，另一方面旨在揭示公式推导过程中蕴涵的思想方法，给学生以启迪.

为了让学生顺利找到解题途径，“以退为进”，引导学生考虑特殊的、具体的、简单的情形，突出了新旧知识的联系与转化，使学生经历一个从特殊到一般的过程，提高了学生的思维层次，培养了学生的思维能力.

三、指导应用，反思提升，才能实现“会退”

“引退”的目的是为了让学生最终“会退”，因此，“引退”时问题设置的梯度应该由小逐渐变大，开放性越来越强，越来越强调学生的独立思考，教师更多的是以指导者的身份出现，提供给学生典型素材加以训练，指导学生及时总结，帮助学生反思提升.同时，“以退为进”的思考策略不是一朝一夕就能掌握的，教师要更多地指导学生在平时的学习中不断尝试，积累解题经验，增加解题智慧，最终实现“会退”.

案例3 “共交点的直线系”的教学

教材先给出例子：求直线l1：3x+4y－2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点坐标，然后在“探究”中提出：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示什么图形？图形有何特点？

若从培养学生“会退”能力的角度出发，在符合学生认知基础的前提下，教学设计完全可以灵活处理，以更加具有开放性的问题呈现教学过程：

给出式子：（3+2λ）x+（4+λ）y+2λ－2=0，其中实数λ在变化.

问题1：你如何理解这个式子？它是什么？

设计意图：明确式子的“身份”，指导学生分别从数与形的角度加以理解，得出：它是一个关于x、y的二元一次方程，表示一条直线.

问题2：当实数λ变化时，直线也随之变化，你觉得什么值得研究？如何研究？

设计意图：这是一个较开放的问题，没有研究的最终目标，更没有研究的方法与途径.学生只能靠自己原有的经验和智慧进行思考.最终得出：研究直线的变化规律，可以先取λ的几个特殊值，画出相应的直线，试一试（培养学生“退”的意识）.

（在学生发现作出的几条直线共点，进而通过解方程组解出交点坐标后）

问题3：问题解决了吗？

设计意图：引导学生从特殊回到一般，验证所有这样的直线均经过该点.

问题4：反思刚才的过程，从知识上、方法上你有哪些收获？有没有可以改进的地方？

问题5：还有什么值得研究的问题？

提出的问题越开放，对学生独立思考能力、综合思维能力的要求越高，对培养学生“会退”能力的锻炼价值也就越大.当然，开放是相对的，问题的开放度也要量力而行，不能偏离教学的最终目标.

四、结语

教师能否自如“用退”，能否有效“引退”，学生是否“会退”，最终取决于教师的专业素养，取决于教师是否具有比较扎实的数学理论功底，取决于教师是否懂得教学方法，是否知道如何引导学生的数学学习，取决于教师能否自觉、主动地理解和把握学生的数学学习心理，并在此基础上，研究和把握教学过程中教与学相互作用的基本规律.只有教师时刻加强专业学习，不断提高专业水平，才能“退”得自觉，“退”得自主，“退”得自然，“退”得自如，学生才能真正感受到“退一步，海阔天空”.

1.普通高中课程标准实验教科书（人教A版数学必修2）.北京：人民教育出版社，2011.

2.普通高中课程标准实验教科书（人教A版数学必修5）.北京：人民教育出版社，2007.

3.曹才翰，章建跃.中学数学教学概论（第二版）.北京：北京师范大学出版社，2008.

4.曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第二版）.北京：北京师范大学出版社，2007.

5.喻平.数学教学心理学.北京：北京师范大学出版社，2010.

6.罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范大学出版社，2008.