对2012年高考湖北卷（理科）压轴题的思考

☉江苏省灌云县杨集中学 苏 勇

对2012年高考湖北卷（理科）压轴题的思考

☉江苏省灌云县杨集中学 苏 勇

题目：（2012年高考湖北卷（理科）压轴题）（Ⅰ）已知函数f（x）=rx－xr+（1－r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1.求f（x）的最小值.

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1a2≤a1b1+a2b2.

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.

注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）′=αxα－1.

例1 （2012年高考湖南卷（理科）第22题）已知函数f（x）=eax－x，其中a≠0.

（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围.

（2）在函数f（x）的图像上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为k.问：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由.

下面给出（2）的解答：