高中数学背景 初中数学解法——对一道中考数学压轴题的探析

☉江苏省连云港外国语学校 吴 昊

高中数学背景 初中数学解法
——对一道中考数学压轴题的探析

☉江苏省连云港外国语学校 吴 昊

2011年黄冈市中考数学压轴题是一道以高中数学知识为背景的创新题，该题貌似平凡实则立意高远，突出考查了学生对数学思想方法的理解和掌握程度、数学思考的深度和广度、自主探索能力与创新意识，对学生的思维能力、理解能力、分析问题和解决问题的能力都提出了比较高的要求.下面让我们一起来“亲密接触”这道试题.

图1

一、试题回放

例1（2011年黄冈市中考压轴题）如图1所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）.

（1）求b的值；

（2）求x1x2的值；

（3）分别过M、N作直线l∶y=－1的垂线，垂足分别是M1和N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论；

（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切？如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由.

二、初中数学解法

本题的四个问题层层递进，体现了中考压轴题“入手容易深入难，得分容易满分难”的特点.第（1）问很简单；第（2）问考查函数与方程（组）之间的化归与转化，应用一元二次方程的根与系数的关系容易解决；第（3）问考查直角三角形的判定以及数形结合思想，考生可运用勾股定理的逆定理或相似三角形思考作答；第（4）问较难，可运用由特殊到一般的策略来求解：先令MN∥x轴，这时以MN为直径的圆刚好与直线l∶y=－1相切，于是猜想所求得的定直线m很有可能就是直线l∶y=－1，剩下的事情就是证明线段MN的中点到直线l的距离等于MN的一半.

解 ：（1）b=1.

（3）△M1FN1是直角三角形，理由如下.

设M1N1交y轴于点F1，显然△M1F1F和△N1F1F都是直角三角形.

所以直线y=－1与以MN为直径的圆相切.

三、高中数学背景

这道形式平凡的试题有着深刻的高中数学知识背景：由高中数学知识，可知图1中的点F（0，1）和直线y=－1分别是抛物线y=x2的焦点和准线，根据抛物线的定义，可知抛物线y=x2上任意一点到点F（0，1）的距离等于该点到直线y=－1的距离，在例1第（4）问的解答中，我们创造性地应用了抛物线的这个几何性质，很明显，这样的解法是为了迎合初中学生的智力和水平.

实际上，抛物线焦点弦的性质层出不穷，变化多端，如果把焦点弦比作一棵参天大树，那么它的基本性质就像是这棵常青树上盛开的“五朵金花”．

第一朵金花：定值金花

第二朵金花：垂直金花

定理2 抛物线的焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直．

这个定理的证法较多，如类似于例1第（3）问的解法可证，这里再给出一个简单直观的几何证法.

第三朵金花：两个圆金花

定理3 以抛物线的焦点弦为直径的圆必与此抛物线的准线相切．

定理3类似于例1第（4）问的解法可证，此处从略．

定理4 以抛物线的焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点．

证明：如图2，根据定理2，有∠M1FN1=90°，所以点F在以M1N1为直径的圆上．作出以M1N1为直径的圆，设圆心为O1，连接O1F，则O1F是Rt△M1FN1的斜边上的中线，所以O1F=O1M1，则∠O1FM1=∠O1M1F.由抛物线的定义可知MF=MM1，所以∠MFM1=∠MM1F.于是∠O1FM=∠MM1F+∠O1M1F=90°，所以⊙O1与MN相切.

第四朵金花：平分金花

定理5 抛物线焦点弦的两个端点与准线和对称轴交点的连线所成的角被抛物线的对称轴平分．

图2

图3

第五朵金花：共线金花

例2 如图4，抛物线的焦点弦为MN，自M、N分别向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.

求证：（1）M、O、N1三点共线；

（2）N、O、M1三点共线．

图4

同理可证N、O、M1三点共线．

例3 如图4，抛物线的焦点弦为MN，分别延长MO、NO与准线l相交于点N1、M1．

求证：MM1∥NN1∥y轴.

同理可证点M1与点M的横坐标相同.

所以MM1∥NN1∥y轴.

综合例2和例3可以得到：

定理6 抛物线的焦点弦的一个端点和准线上一点的连线过抛物线顶点的充要条件是该弦的另一个端点和准线上这点的连线平行于抛物线的对称轴.

四、考后反思

例1作为中考压轴题，有一定的难度和区分度，命题专家选取高中数学中抛物线的焦点弦的性质进行改造，给予简单化和具体化处理，命出此题，虽然是高中数学背景，却是初中数学解法，既考查了学生的思维能力和数学素养，又考查了学生继续学习数学的潜能，实现高中数学和初中数学的和谐接轨，让人耳目一新．以高中数学为背景的命题已逐渐为中考命题专家所青睐，本文揭示其背景只是为了让一线教师把问题看得更加透彻，而没有必要把相关知识引入初中数学教学中，加重学生负担．数学的基础知识、基本技能和基本思想方法是根，教师要牢牢把根留住！