小题大做，借题发挥——从一道中考填空题说起

☉浙江省绍兴县平水镇中 王天月

☉浙江省绍兴县平水镇中 沈岳夫

小题大做，借题发挥
——从一道中考填空题说起

☉浙江省绍兴县平水镇中 王天月

☉浙江省绍兴县平水镇中 沈岳夫

题目 （2010年武汉市）如图1，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD的长为（ ）.

图1

此题结构简单，形式优美，内容丰富，可用知识点多，解法多样，具有一定的启发性和拓展性.下面就解法思路及其演变作些探析，与大家共赏.

一、试题解法及点评

1.构造等腰三角形，常见但实用

解法1：构造等腰三角形，应用勾股定理.

图2

图3

解法2：构造等腰三角形，应用三角形相似.

点评：在一个三角形中，如果已知边或角中的三个元素（三个角除外），那么这个三角形一般是可解的，若图中出现了特殊的45°角，可以通过作三角形一边的高构造双直角三角形.解法1是在构造出等腰直角三角形的基础上，再应用勾股定理解决问题；解法2是在构造出等腰直角三角形的基础上，再应用三角形相似使问题得到解决.这些方法都是解数学题的通法，由于学业考试十分重视对基础知识、基本技能和通性通法的考查，所以教师在平时的教学中，要引导学生熟练掌握数学模式题的常规解法，不断积累经验，提高学生的解题能力，达到“以不变应万变”的目的.

2.采用截长或补短，经典又给力

解法3：采用截长法，应用三角形全等.

图4

图5

解法4：采用补短法，应用三角形全等.

点评：当题目中有角平分线这个条件时，自然想到构造轴对称图形.解法3是在角的长边上截取一段使它等于该角短边的长，即CG=CA，可证△ACD≌△GCD，然后把问题转化到Rt△CDE中，求得CD的长；解法4是延长角的短边使它等于该角长边的长，即CH=CB，可证△CHD≌△CBD，然后把问题转化到Rt△CDF中，求得CD的长.解答此题的难点并不在于计算，而主要在于能不能形成正确的解题思路.由此可见，图形变换在证明和计算中也会经常用到，关键是要让学生树立“变换思想”，掌握“变换方法”.一般地，当遇到角平分线、折叠、翻折等条件时，其实质是考查对称的相关知识，就应考虑对应元素之间的变换.

3.妙用图形变换法，独特又精彩

解法5：利用角平分线，构造轴对称，应用三角形全等.

图6

图7

解法6：利用旋转变换，应用圆内接四边形的性质证三点共线.

点评：图形变换题是近几年学业考试的热点题型，图形的旋转、平移、轴对称等都是考试热点，解这类问题，要弄清图形是怎样变换的，然后根据相关条件求解.解法5是由角平分线联想到它的轴对称性，它的常见辅助线是“经过角平分线上一点向角的两边作垂线”，将不规则的四边形ACBD割补成正方形DECF，问题得解；解法6通过旋转变换，将已知线段AC、BC集中起来，经证明它们的长度和等于CE，并由45°构造等腰直角三角形，这样把CD的计算问题转化到Rt△DCE中，再用三角函数知识解决问题.

4.利用解析法，添坐标系，直观又简捷

图8

解法7：利用直角坐标系，应用两点间距离公式.

点评：解法7主要是条件中有些特殊的点（如中点）或特殊的图形（如圆），通过建立适当的直接坐标系，可以将某些几何求值问题、证明问题全部转化或部分转化为代数问题加以解决（有时较之其他的方法更为简洁）.

5.运用特殊方法，新颖又别致

解法8：运用直角三角形内心的性质.

图9

图10

解法9：运用两次相似，整体相加的方法.

点评：在解题时，仔细观察题目的外形，把握问题的特征，展开联想，创设整体，常常会使解题思路豁然开朗.此题运用两次相似三角形的对应线段成比例，通过整体相加、数形结合等基本思想方法的运用，考查学生分析问题和解决问题的能力，同时也能反映出学生的思维差异.因此，仔细观察，善于联想，在条件与结论之间寻找最便捷的桥梁，是学习数学的理想追求.

解法10：应用托勒密定理.

对于托勒密（Ptolemy）定理——圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.应用它来解答此题最快捷.

点评：通过托勒密（Ptolemy）定理的中介作用，揭示了命题中条件与隐含条件、结论的内在联系，为寻求解题途径指明了方向，使问题的解决简单流畅、别具一格，达到了化繁为简、化难为易的目的，而且还可以开拓学生的思路、提高解题能力，对学生学习兴趣的培养也大有裨益.

二、试题推广及演变

1.试题推广

通过对上述解法的再思考，很容易证明这个关系式是成立的，但是离不开“∠ACB=90°（或AB是⊙O的直径）”这个条件.因此得到：

定理1：过直角三角形直角顶点的角平分线截这个直角三角形的外接圆，所截得的线段长等于两直角边和的倍.用数学语言表示为：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O为Rt△ABC的外接圆，CD平分∠ACB且交⊙O于点D，则CD=（AC+BC）（.证明过程类似于解法1、解法2等，这里从略.）

把定理1的题设一般化：如果∠ACB≠90°，其他条件不变，那么AC、BC、CD这三者之间又有着什么样的数量关系呢？通过类比探究得到：

图11

2.试题演变

演变1：立足原题，提炼本质

例1（由选择题变函数题）

图12

图13

如图12，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，反比例函数y=的图像经过点P，则k的值为______.

点评：此题是一道融几何、代数内容为一体的填空综合题，对圆、反比例函数、等腰直角三角形、勾股定理、方程的认识提出了较高的要求，属于《数学课程标准》中的灵活运用的层次.此题可以抽象为对原题进一步的变式，属形异质同，此题注重对数学思想方法、探究思维能力和创新能力的理解与渗透，体现综合性、新颖性、思考性、思想性，题目解法灵活多样，较好地考查了学生分析问题和综合解决问题的能力.

例2（由选择题变证明题）

如图14，AB是⊙O的直径，C点为半圆上的一点（AC＞BC），∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD、BD，过D点作DE⊥AC，垂足为E.试问：

图14

图15

解：如图15，过D点作DF⊥CB，垂足为点F.由题意先证Rt△AEDRt△BFD，得AE=BF；再证四边形CEDF是正方形，得CE=CF.所以：

点评：本题是将选择题变为证明题，结论变得具有开放性，难度比原题有所增大，但此题解法较多，除了所给出的方法，还可以用解法3（截长法）、解法4（补短法）解决，有兴趣的读者不妨试一试.

演变2：变化情景，推陈出新

例3（由特殊变一般）

如图16，AB是⊙O的一条弦，C点为半圆上的一点（AC＞BC），过O点作OD⊥AB于H，交⊙O于D点，连接CD，过D点作DE⊥AC，垂足为E，探究：

（1）例2的两个结论是否仍然成立？

图16

解：（1）如图16，过D点作DF⊥CB，垂足为点F.由题意先证Rt△AED≌Rt△BFD，得AE=BF；再证Rt△CED≌Rt△CFD，得CE=CF.所以：

演变3：变换图形，探幽寻芳

例4（由内角平分线变外角平分线）

如图17，⊙O交x轴于A、B两点，交y轴于D、P两点，圆心O在y轴上，过点D作DE⊥弦AC，垂足为E点，Q点在BC的延长线上.

图17

图18

（2）如图18，过D点作DF⊥CB，垂足为F.先证DE=DF，CE=CF，再证Rt△AED≌Rt△BFD，所以AE=BF，后面步骤类似例3的过程.（请读者自己思考、完成.）

点评：本题难度比例3又有所增大，该题从三个层面作了变式，首先条件“OD⊥AB”由直接变间接；其次点C、D从在弦AB的异侧变为同侧；再次把内角平分线变成外角平分线.通过这种改变题目的条件、结论或情境等多种途径对典型试题进行变式探究，强化学生对知识和方法的理解，让学生熟练地运用垂径定理、弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理及推论和勾股定理等基础知识，帮助学生对问题进行多角度、多层次的思考，掌握相关的作辅助线的方法，以提高学生的解题能力.