小议图形的相似

☉江苏省连云港外国语学校 赵立新

小议图形的相似

☉江苏省连云港外国语学校 赵立新

相似知识是初中几何的重点内容，运用相似的相关知识解决一些实际问题.现在的中考试题更加贴近生活，特别是在综合题中，注意相似形的灵活运用，尤其是应用相等线段代换、等比代换解决相似问题是其中的重点和难点.

一、考点剖析

1.相似多边形定义，判断及相似多边形性质.

2.相似三角形的相关概念.

3.相似三角形的判定定理：

（1）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则这两个三角形相似.（简称为两角对应相等，两三角形相似）

（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.（简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）

（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简称为三边对应成比例，两个三角形相似）

（4）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

4.相似三角形性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

（2）相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比，对应高的比，对应周长的比都等于相似比.

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方.

二、常考题型分类解析

题型一 直接利用多边形的相似，求对应多边形的边和角.

例1 如图1中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和α、β的大小.

图1

所以x=3，y=6，z=3. 由于对应角相等，所以α=∠D=180°-∠A=118°，β=∠B′=180°-∠C′=70°.

点评：①应用相似多边形特征求边和角时，关键是找对应边和对应角，从而列出等式，通过解方程求解.②一般地，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角.

题型二 根据多边形的判定方法来判断规则多边形（长方形）是否相似

图2

解析：新长方形的长为a+2x，宽为b+2x.

由（1）、（2）知，这两个长方形对应边不成比例，这个新长方形与原长方形不相似.

点评：①此题看对应边是否成比例，用了作差的方法.若差等于零，则两比值相等；若差不等于零，则比值不相等.②找对应边时，注意矩形的长宽都要检查，不能只考虑一种情况.

题型三 根据相似三角形的四个判定定理之一进行三角形相似的判断

例3 如图3，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.

（1）求证：△ADF∽△DEC；

图3

解析：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB∥CD.

所以∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°.

所以∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B，所以∠AFD=∠C，所以△ADF∽△DEC.

（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，CD=AB=4.

又因为AE⊥BC，所以AE⊥AD.

点评：利用三角形的相似知识和直角三角形的勾股定理解决本题，这两个知识点是初中数学的重点内容，需要熟练掌握和灵活应用.

题型四 相似三角形和全等三角形的综合运用

例4 如图4，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F.

（1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由.

解析：（1）因为Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，所以AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′.

图4

点评：本小题综合考查了旋转、相似三角形、直角三角形和三角形全等的知识，首先看清题意，把问题分成几部分逐一解决，从而最后得到完整的结论.

相似多边形的定义、性质与相似三角形是相通的，而相似多边形的判定与相似三角形的判定是有区别的，对应角相等或对应边成比例的三角形相似，而对应角相等且对应边成比例的多边形才相似，所以不能随意地把判定相似三角形的方法套用来判定多边形相似.例如，两个矩形的各角都相等，但对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似.另外研究多边形相似时通常利用辅助线使之转化为三角形问题.