基于“四基”和“四能”目标的概念教学新尝试——以《1.1反比例函数》为例

☉浙江省宁波市江北实验中学 杨红芬

《义务教育数学课程标准》提出了“四基”、“四能”的理念.“四基”，即让学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；“二能”修改成为“四能”，即发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.课程改革的深化必定引起课堂模式的相应改变，概念课是数学教学的重要课型.传统课中，核心概念的获得有两种基本模式：数学核心概念形成的模式与同化的模式.基于“四基”、“四能”目标下课堂教学怎样操作，笔者采用研究性变式类比方式进行了探究，现以浙教版九年级上第一章《1.1反比例函数》概念课为例，对新理念边学习边类比边研究.

一、教学目标

基本知识：探索中理解反比例函数概念、两种不同的函数表达形式、自变量的取值范围.

基本技能：能根据实际问题中已知条件找到反比例关系，列出反比例函数关系式，判断反比例函数的方法.

基本活动经验：从现实情境和已有知识经验出发探索两个变量之间的相互关系，即探索人民币兑换过程中的人民币面值和张数存在的规律即反比例关系，进一步理解常量与变量的辩证关系，以及反映在函数概念中的运动变化观点，经过“情景引入”、“分组合作”、“走进生活”、“例题讲解”等活动，经历抽象反比例函数概念的过程，培养观察、比较、类比、归纳概括能力和解决实际问题的能力.从而培养发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，体验数学来源于生活实际，激发学习数学的热情和兴趣.

基本数学思想：从一次函数概念中类比出反比例函数概念，体验类比思想；运用反比例函数解决简单的实际问题，体验函数的思想.

教学设计说明：新课标要求学生感悟数学的“基本思想、基本活动经验”和培养学生“发现问题、提出问题的能力”，体现了“育人为本”的教育理念，也是创新人才培养的需要.教学目标是课堂教学的核心和灵魂，是课堂教学的出发点和归宿，传统的教学中只关注结果性目标（知识技能目标），没有过程性目标（数学思想方法及数学活动经验），注重学生对概念的同化，重视概念获得的结果.“四基、四能”下的教学目标不应是简单的知识传授，而是要帮助每一个学生进行有效的学习，使每一个学生学会想象，学会思考.爱因斯坦说过：“想象力比知识重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进步的源泉.”

二、教学过程

1.情景引入（数学来源于生活）

师：数学在生活中无处不在.大家看老师手里现有面值为100元、50元、20元、10元的人民币各一张，你能提出一个关于这些人民币的数学问题吗？

生1：100元的可以兑换成2张50元的，50元的可以兑换成5张10元的，20元的可以兑换成2张10元的……

生2：我们生活中还有面值为1元、0.5元和0.1元的人民币，我们也可以把这些钱兑换成1元、0.5元和0.1元分别是多少张？

师：两位同学提出了很实际的问题，如果把1张面值为100元兑换成面值50元的人民币，可换几张？换成面值为20元的人民币可换几张？依次换成面值5元、2元、1元、0.5元的人民币，各可换几张？现在我们把换得的张数y与面值x列成一张表格.（学生齐答）

换成的每张面值为x（元） 50 20 5 2 1 0.5换成的张数y（张） 2 5 20 50 100 200

请大家仔细观察这张表格，面值x和张数y有怎么变化规律呢？

生3：当100元兑换成面额较小的钱时，兑换的面值由大变小的时候，张数由少变多.

生4：不管x与y怎么变化，x与y的乘积始终是100.

师：你会用含x的代数式表示y吗？变量y是x的函数吗？为什么？

生4：yx=100.

（“回顾旧知”）师：想得真周到！那什么是变量、常量、函数呢？（屏幕展示三个定义进行复习）我们曾经学习过一次函数和正比例函数，那么这个函数是一次函数或正比例函数吗？

生6：不是.

师：哪是什么函数呢？

生7：（根据预习和前面的酝酿很确定地说）反比例函数.（由此引出课题）

教学设计说明：传统课堂教学中主要是培养学生的分析问题和解决问题能力，学生缺乏创新精神.爱因斯坦说过：提出一个问题比解决一个问题更重要，提出问题比研究问题还重要.人的创造性思维往往都源于对事物观察后能发现新的问题，并提出问题和思考.培养学生“问题意识”是培养学生创新精神和能力的前提.教师在教学中要善于引导学生“发现问题”，注意培养学生发现问题的习惯和思维方法，对于同一个问题都要从不同角度多问几个“那是什么？”“为什么？”“还能怎么样？”学生的问题意识增强了，发散思维能力也就逐步形成了.本课引入中：老师拿出面值为100元、50元、20元、10元的人民币各1张，让学生观察后设问：“你能提出一个关于这些人民币的数学问题吗？”从学生感兴趣并熟悉的事物入手，比较适合引导学生发现问题和提出问题.学生1提出：100元的可以兑换成2张50元的，50元的可以兑换成5张10元……学生2提出：把这些钱兑换成1元、0.5元和0.1元分别是多少张？“面积x和张数y有怎么变化规律呢？”这个有价值的问题正是这个反比例函数概念研究的起点和意义.课堂教学过程中我们应该时时刻刻记得鼓励学生大胆提出问题，然后仔细甄别问题价值，认真给于评价，让学生更有兴趣观察事物、更有信心提出有创意的问题，只有发现的经历才能形成创新精神和意识.

2.分组合作（探索反比例函数）

师：模仿一次函数的定义给反比例函数下个定义.（课件展示一次函数的定义）同时思考对于这个反比例函数我们应注意点什么呢？

学生归纳得到：

（3）自变量取值范围：x≠0的一切实数.

3.课堂练习（火眼金睛识函数）

练习一：下列函数中哪些是y关于x的反比例函数？若是，请指出K的值.

练习二：当函数y=（m-1）xm2-2是反比例函数时，m=____.

教学设计说明：基本知识和基本技能是后续学习的基础，是夯实常规教学，培养学生创新思维、创新精神，形成智慧和能力的前提和基础.这组练习难度小，大部分学生都体验到成功的喜悦，加强了反比例函数概念的理解，归纳得到了判断反比例函数的方法：一看解析式（自变量指数为-1）；二看k是否不为0；三看自变量要有意义；四看函数值要有意义.要注意对反比例函数实质的理解，而不是仅仅局限于形式，如中，y是x-1的反比例函数，而不是x的反比例函数.数学知识教学只有实现深层的“意义建构”，而非表面的“形式模仿”，才能促进学生的素养提升，助推学生的终生成长.数学本质稳定不变、题目形式、条件发生变化时，要使学生仍能辨别得请，需重视创设情境引导学生自我构建概念的过程，应该成为数学基础知识教学的关键法则.

4.走进生活

同桌讨论：数学来源于生活，请同学们找出生活中的反比例函数关系，并举例：如：在放学回家行程问题中，当家和学校之间路程一定时，回家平均速度和回家时间成反比例函数关系.（学生分小组讨论交流，提出自己在生活中遇到的例子.代表发言）

生7：爸爸每次开车去加油站加油，每次加300元，所加的油量与油价成反比例函数关系.

…

生8：当压力一定时，压强与受力面积成反比例函数关系.

教学设计说明：基本数学活动经验指基本生活经验和活动经验的积累，从生活走进教材，从教材走进社会是新课程的基本理念.数学经验大致可以分为：①日常生活中的数学经验；②社会科学文化情境中的数学经验；③从事纯粹数学活动累积的数学经验.

学生自主探究活动随着课程改革的开展逐渐受到重视，但是容易演变为教师指令之下的“执行性操作”，数学活动绝不等于劳技活动，除了适度培养学生的动手操作能力以外，更重要的是有力提升学生的思维水平.真正有效的活动经验，不只是感官活动的经验，更包含思维活动的经验，真正获得数学探究的真实心得.本课中创设了“人民币兑换”，贴近学生的生活经验，符合学生的学习心理需求.“类比一次函数概念得到反比例数学概念”在这个过程中学生亲身经历了发现概念过程，并提出有关概念的问题，不但能让他们体验到这个概念存在的必然性，也经历了学习数学的理性思维过程.“人民币引入”、“走进生活”使学生真正体验从实际背景到抽样概念的“数学化”过程，最后又回到生活，感受反比例函数研究就来自于生活、生产，服务于生活，体验实事求是态度、理性解决问题的过程.达到积累基本的数学活动经验的教学目的.

5.例解讲解

师：同学们都是生活中的有心人呢！科学总是与数学相通的，有一著名的科学家说过这样一句话：给我一个支点，我可以撬动地球！是谁呢？

生9：阿基米德.

师：他本想用这句话来解释物理学中杠杆平衡原理，今天我们通过一个数学问题来解释杠杆省力原理.

例：阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力y（N），动力臂为x（cm）（杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）.

（1）求y关于x的函数解析式.这个函数是反比例函数吗？如果是，请说出比例系数.

（2）求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义.

（3）利用y关于x的函数解析式，说明当动力臂长扩大到原来的n（n>1）倍时，所需动力将怎样变化.

教学设计说明：

（1）理解感悟、灵活运用初中数学思想方法对于提升学生的数学素养、丰富学生的思辨智慧极为重要.作为数学教师，首先应对初中阶段所需渗透的基本数学思想方法加强认识、充分了解，如数形结合思想、转化和化归思想、类比思想、分类讨论思想、函数与方程思想、样本估计总体的思想等.注重在概念教学中培养学生的学习思想是“教”与“学”的重点，也是教学过程的难点.本课向学生渗透了类比、函数、转化及数学建模等的基本数学思想和方法.由一次函数的定义推出反比例函数定义，类比既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法.将例题中物理问题转化为函数问题，建立反比例函数关系，研究这个反比例函数，得出杠杆省力原理.进一步感受到函数是反映现实生活的一种有效模型.通过例题学生学会了用函数思想解决实际问题的基本技能.认真钻研数学教材，深入领会编者意图，努力挖掘概念课中数学思想方法的渗透点，并通过自己的精心预设，重点引导，结合教学内容的逐步展开，向全体学生扎实播撒数学思想方法的“种子”.立足平常，细水长流，方可潜移默化、达成目标.

（2）我们在努力实现学生的全面发展过程中，不可忽视人的非智力因素在其中的影响，我们希望学生能积极发现、提出问题、能认真思考全面分析问题、能严谨解决问题，同时又要有对问题保持浓厚的兴趣和好奇心，有创新精神、有想象力.只有努力设置平台，才能让这些好的精神能在学生身上萌发.利用吸引眼球的“人民币”引入就是激发他们研究的兴趣和好奇心；“类比概念”让学生体验了成功，拥有自信心；“走进生活”此环节所举例子具有很强的生活色彩，体现了反比例函数在日常生活生产中的应用，同时加深了对反比例函数的理解，激发了学生学习数学的热情和兴趣.从感性上去理解研究反比例函数的必要性.例题涉及较多的《科学》学科的知识且数据繁多关系复杂，需要用数学模式的变化来理解物理性质，对学生的能力要求较高而且学生理解问题时有一定的难度，是本节教学的难点.为了分解难点，或者让他们的心理上能容易接受例题，设计过渡语激发他们研究例题的欲望或激情：“有一著名的科学家说过这样一句话：给我一个支点，我可以撬动地球！，是谁呢？生：阿基米德.”利用阿基米德的“撬动地球”的历史故事，很好地激发了学生对问题探究的兴趣，因此对抽象函数应用产生了无限的兴趣和期待.我们为了激发学生的主动性和积极性，就要千方百计在课堂中设置有效教学活动，创造空间和时间，化冰冷的数学概念为火热的思考.也许教育的理想就埋伏于此.概念教学过程不只是学科本位、知识本位，而是以人为本，立足于发展和完善人的高度.

6.归纳小结

通过今天这节课的学习，你有什么收获？还想知道什么？学生回顾本节课的内容，代表发言补充.

7.自我测试（设计3到5题针对本节课的练习题，略）

教学设计说明：小结后“自我测试”环节能及时巩固反比例函数知识，检测学生掌握基本知识、基本技能的掌握情况，毕竟基本知识和基本技能的掌握是实现课堂教学目标的最基本的要求，对培养学生对所学知识的自我校正、自我反馈的意识和能力有一定的作用.数学技能指运算的技能、推理的技能、作图的技能，数据处理的技能、绘制图表的技能、使用计算器的技能、数学交流等技能.加强基本技能的训练是义务教育阶段的重要目标.解题的规范性、准确性、快速随着新理念的深入反而被忽视，学生经常因为没有看清题意或者审题不仔细或者答题不规范等等导致考试、练习时失误.所以在核心概念课组织练习时，既要关注正误，又要认真审视学生在解题过程中真实呈现的格式与习惯，并对照教材要求，引领强化，使其形成良好的解题习惯和数学语言表达习惯，建立牢固的规范意识.毫无疑问，对于学生的后续学习乃至终生发展而言，规范意识都不可或缺.

8.教学基本流程

在数学概念课教学过程中，实现“四基”是素质教育出发点和落脚点.因此概念课教学注重引导学生独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方法.我们希望学生有创造力、想象力、有责任感，就必须改革学生的学习方法和教师的教学方法.传统的记忆、模仿、接受只能掌握一般的知识，难以培养学生的各种能力.依据构建主义的学习观，学生是学习的主动构建的主体.整堂课设计了“数学来源于生活”、“回顾旧知”、“探索反比例函数”、“小组讨论”、“火眼金睛识函数”、“走进生活”、“自我测试”等教学环节丰富了课堂活动，既有教师的主导作用引领，又有学生尝试自主、合作的学习，使学生经历知识构建和发现的过程，亲自经历提出问题、发现反比例函数、概括反比例函数的概念过程，注意培养学生发现问题的习惯和思维方法，培养了学生建模的意识、也发展了数学建模的能力.既有自主探索的发现，也有逻辑演绎的生成.这些活动释放了学生的自主学习的能力和学习的主动性，学生从中积累了一定的数学活动经验，真正感悟或领会到数学思想.学生的推理能力、抽象能力、分析问题和解决问题的能力、想象力和创造力才有可能提升.当然有效的活动必须在教师恰当的引导下才会产生.我们为有效的活动积极创设条件，搭建平坦，不但让学生经历概念产生、发展过程，而且设置的活动更能体现反比例函数概念的本质.

反思的问题：“四基”、“四能”是新的课程目标重心，是不是所有的概念课都要“四基”、“四能”为教学目的呢？所有的概念课都要经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程呢？对于新的教学理论我们抱着学习、实践的态度对待它，一定会在某一天能够形成成熟的教学模式，优化概念教学设计，把握新的教学理念，真正使学生在参与过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学本质的目的.

1.裴光亚.初中数学课堂教学：问题探讨与教学改革.中学数学教学参考（中旬版），2011.10

2.高峰.如何实施“因式分解”教学.中小学数学（初中版），2012.1-2

3.张伟.“真实性学习”下的初中数学概念教学.中小学数学（初中版）,2011.6