方程（组）的求解给我们的教学启示及运用

☉江苏省南京市中华中学 李小福

方程（组）的求解给我们的教学启示及运用

☉江苏省南京市中华中学 李小福

方程作为代数中非常重要的一部分知识，既是运算技能，又是解决问题的模型，其中蕴含了很多的思想方法和解决问题的策略.初中学生要学习一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程的解法及运用，除了运算技能的学习，通过这些方程的教学我们还应该教给学生什么呢？

一、几类方程（组）的解法

1.二元一次方程组

二元一次方程组的解法一般有“代入消元法”或“加减消元法”，基本思想是“消元”：把二元方程组转化为一元方程解答.

解二元一次方程组用的是“消元法”，解题过程体现了数学的转化思想：二元转化为一元.

2.分式方程

解：去分母得24x=20（x+1），解这个方程得x=5，经检验x=5是方程的解.

分式方程的解法体现了数学中的转化思想：将分式方程转化为整式方程.

3.一元二次方程

（1）直接开平方法

例3 解方程x2－4=0.

解：移项得x2－4=0，因为x是4的平方根，所以x=±2，即x1=2，x2=－2.

“直接开平方法”通过开平方“降次”，将“二次”转化为“一次”.

（2）配方法

例4 解方程x2+6x+4=0.

“配方法”解一元二次方程体现了转化的思想：通过配方将方程转化为可以直接开平方的形式.

（3）公式法

公式法解方程是配方法结果的直接运用.

（4）因式分解法

因式分解法通过“降次”，将二次方程转化为两个一次方程.

启示：通过上述方程（组）的求解，我们可以发现：多元方程组通过“消元”转化为一元方程，分式方程转化为整式方程，二次方程通过“降次”可以转化为一次方程，解题过程中运用了“消元”和“降次”的解题方法，包含了转化（化归）的数学思想方法.

二、方程（组）的解法启示的再运用

如果我们的方程（组）的教学能够上升到思想方法的层面，根式方程、三元一次方程组、三次方程都可以用上述的思想方法解答，学生也比较容易接受.

分析：这个方程用文字语言翻译过来就是x+2的算术平方根是x，根据算术平方根的定义可以得x2=x+2；或者可以从开方是乘方的逆运算来理解.

通过平方，将根式方程转化为整式方程求解，这是转化思想的一个运用.

（3）解方程x3-x=0.

解：原方程可以变形为x（x+1）（x-1）=0，所以x=0、x+1=0或x-1=0，所以x1=0，x2=-1，x3=1.

“消元”和“降次”不仅在方程（组）的求解中有着广泛的运用，在代数式的求值等方面也有着广泛的运用.

解：此题中含有两个字母，我们可以把其归为“二元问题”，可以通过消元转化为“一元问题”解答.

证明：此题中含有三个字母，我们把其归为“三元问题”，可以通过消元解答.

通过方程（组）解法的学习，我们不仅要教给学生方程（组）的解法，训练学生解方程（组）的运算技能，还要能够挖掘这些解法中所蕴含的数学思想方法，灵活运用.

《2011版数学课程标准》明确将传统的“双基”改为“四基”，即：基础知识、基本技能、基本思想、基本经验.如果我们在传统的“基础知识、基本技能”的基础上，对“基本思想、基本经验”多加关注，我们的数学教学将真正地从“授人以鱼”转变为“授人以渔”.如果我们的数学教师能够在传授学生基础知识、基本技能的过程中，将其中蕴含的数学思想灵活运用，我们的教学也将达到事半功倍的效果，我们的数学教学就灵活了，学生学习时就能够做到“举一反三”、灵活运用，对数学的学习将成为一件轻松、富有成就的事情.