谈垂直化与水平化在数学教学中的应用

☉河北省唐山市路南区教育局中学教研室 李姝侠

谈垂直化与水平化在数学教学中的应用

☉河北省唐山市路南区教育局中学教研室 李姝侠

水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化，是把情景问题表述为数学问题的过程，亦指数学问题的水平发展．垂直数学化是从符号到概念的转化或用符号解决数学问题，亦指数学问题的梯度发展，类似演绎推理．本文拟举例来谈谈垂直化与水平化在数学教学中的应用．

一、新课导入时应用垂直化与水平化

讲解《有理数乘法》时有以下两种课堂导入：

例1（水平化实例）如图1，一只蜗牛沿直线l爬行，它现在恰好在l上的点O（规定向右为正）．

图1

（2）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？

（3）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？

（4）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？

例2（垂直化实例）

分析：以上两种不同的导入，不难看出，水平化实例比较符合七年级学生的认知特点且垂直化实例不能正确表述类似（-2）×（-4）=8这个实例．显然，水平化的导入为课程顺利进行做好了积极的铺垫．

讲解《扇形的面积》时有以下两种课堂引入：

（水平化引入方法）问题情境：制造圆弧型弯曲管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．这段展直长度实际就是圆弧的弧长．怎样计算这段圆的弧长呢？这就是本节课要学的内容．

点评：对身陷局中的年轻人而言，他们关心的是一份稳定的工作；无良公司盯住的，却是上万元的贷款，以及可供驱使的人头。每个人一两万元钱，对年轻人而言，可能是很久才能攒够的积蓄，而对无良企业而言，则是不当谋利的工具。

提出问题：大家还记得圆周长的计算公式吗？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？

课堂追问：1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长是多少？

（垂直化引入方法）问题思考：设圆的半径为R，（1）圆的周长公式是什么？（2）圆的周长可以看成是多少度的圆心角所对的弧？（3）1°的圆心角所对的弧长是多少？（4）n°的圆心角所对的弧长是多少？

可以看出以上两种课堂导入的方法都比较简洁明了，两者的区别在于前面的一段话，可是实际效果截然不同，此例较好地反应出恰当运用水平化的引入，能激发学生的学习兴趣．但是如果不能找到这样很贴切的实例，单刀直入也不失为上策．

比如：一元二次方程的讲解：由于前面学习一元二次方程的概念时已经从实例做了引入，再讲用公式法解方程时就没有必要使用水平法引入，可以直接使用垂直法引入．

二、试题讲解时应用垂直化与水平化

教师讲解角平分线的应用时曾出现如下两个题目：

例3（水平化实例）已知三条公路如图2所示，现欲建一加油站，保证到三条公路的距离相等，那么可建的加油站的位置有几个？

答案：4个.

例4（垂直化实例）已知△ABC，求作一个点O，使点O到三角形三边的距离相等，这样的点有几个？若将三角形三边改为三条直线，那么这样的点有几个？

答案：1个；4个．

分析：对于例3，学生的第一印象是符合条件的点只有一个，也可以说这是几何教学中学生易错点之一．例4则有效地将试题进行分解即化综合为基本，然后将试题进行还原，不仅减少了学生出错的概率而且也能对同类试题起到画龙点睛的作用.

图2

而通常很多时候教师讲解试题时使用较多的是垂直化.

例5 如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD.连接DE交AC于点H，连接BH.

求证：（1）EH=DH，AH⊥DE；

（2）△CDE为等边三角形；

图3

这样的例题采用垂直化方法效果会更好.此题还可以继续引导学生深入研究，这对于开阔学生知识视野、引发学生理性的数学思考大有益处.

三、课堂提问时应用垂直化与水平化

例6（水平化发展）教师提问：两圆的位置关系是什么？

答案：外离、外切、相交、内切、内含.

例7（垂直化发展）如果两圆的半径分别为2和4，当两圆的圆心距为0.5，4，8，2，6时，位置关系如何？请结合数轴（如图4）说明问题.

答案：d=0.5时，内含；d=4时，相交；d=8时，外离；d=2时，内切；d=6时，外切.

图4

分析：众所周知，数学知识的反馈主要以符号语言为主，图形语言帮助学生理解记忆，文字语言可以作为一个简要的补充.当然，垂直化的提问不仅可以使学生理解知识更加透彻，也体现了数学中常用的数形结合思想，同时也可以将学生的思维引入更深一层的思考.笔者理解，对于学生刚刚接触到的知识，可以采用水平化提问，随着知识学习的不断深入以及对知识掌握的面越来越宽，适时采用垂直化提问，能够集中学生的注意力，引发学生思考、产生学习动机、激发学习兴趣、建立知识联系、明确教学目标，使学生进入活跃的求知状态，为进一步学习打好坚实的基础.

四、作业布置时应用垂直化与水平化

精新选择的作业布置无疑是一堂好课的有力补充.教师对于作业的布置也时常呈现大众作业与精英作业，以下两题正是呈现不同作业的实例.

例8 （水平化发展）如图5，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，且AB=6，CD=8，且⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离时多少？

图5

答案：1.

例9 （垂直化发展）已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，且AB=6，CD=8，且⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离时多少？

答案：（需要画出图形（如图6），分类讨论）1或7.

图6

分析：两道作业的区别就在于有图与无图的区别，但两字之差却将水平发展与垂直发展充分体现，这也正是教育学生仔细审题、努力提高的关键所在.此题也真正体现了由于图形不确定而导致的分类讨论，所以也符合数学细、精、准的特点.我们倡导“以人为本”的教育理念，就是承认差异，张扬个性，提高素质.所以对于作业的布置要进行科学性、针对性、可行性的选择和分层，使学生逐步建立学习信心，让不同层次的学生都能感觉到数学学习的容易和有趣.

自己在数学课堂上进行的水平化和垂直化尝试，实际就是“因材施教”和“因才施教”的进一步体现.达尔文曾说过：“世界上没有两片完全相同的叶子.”生命体之间的各个方面都存在着差异，同样作为生命个体的学生，也毫不例外地存在着差异.要做到“因才施教”，首要任务是对学生要有全面深刻的了解，对学生的智力因素、学习习惯、基础知识等方面都要了如指掌，进而实行区别对待的教学方式.因此教学时，教师应该以学困生“吃得了”、优秀生“吃得饱”为原则，积极创造条件让优秀生脱颖而出的同时，兼顾每一个个体.要做到“因材施教”，就要精通教材、精通课标；放眼未来，使自己站在更高的高度审视教学，把每种教学方法发挥到极致.

总之，无论是水平化还是垂直化，在数学教学中都有非常适宜的发展空间，也可以说，数学水平化与垂直化的有效运用，必是促成高效教学的重要因素，促成教与学的实质性提升.