一反常态的不等式

☉江苏省南京金陵中学河西分校 李玉荣

坛

一反常态的不等式

☉江苏省南京金陵中学河西分校 李玉荣

近几年，随着课程改革的深入发展，各地中考数学考试对解决问题的考查力度也在不断地改进与完善，加强对“数学思考”主要目标的考查及克服试题过于“模式化”现象是中考命题的一个新动向，不落俗套的试题并非刻意指向解题所运用的具体的数学知识，而更多地体现在对解题策略的思考与选择上，既提高了考试的效度又发挥了引导日常学习和教学数学方法的作用，本文采撷几道与不等式相关的中考题，管窥其创新考法．

一、由“不等”确定“相等”

图1

例1 （2012年德阳市）如图1，已知一次函数y1=x+m的图像与反比例函数y=的图像交于A、B两点，已知2当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2.

（1）求一次函数的解析式；

（2）已知一次函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积.

解：（1）由已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2..可得点A的横坐标为1，把x=1代入y=得y=6，A（1，6），所以6=1+m，m=5，2故一次函数的解析式y=x+5.

（2）略．

例2 （2011年北京市）如图2，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2+（m－3）x－3（m＞0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A的坐标；

（2）∠ABC=45°时，求m的值；

图2

（3）已知一次函数y=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交一次函数y=kx+b的图像于点M，交二次函数y=mx2+（m－3）x－3（m＞0）的图像于点N，如图3所示.若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求一次函数的解析式．

解：（1）点A的坐标为（－1，0）；

（2）m=1；

（3）由（2）得，二次函数解析式为y=x2－2x－3.依题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）.

将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中，得－2k+b=5，且2k+b=－3，解得k=－2，b=1，所以一次函数的解析式为y=－2x+1．

点评：这两道题的亮点是“求一次函数的解析式”，这本是一种常规题，但题设没有明确给出点的坐标，而是给出了相关不等式，需要学生结合图像对“已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2.”、“点M位于点N的上方”分别做出正确理解，把“不等”转化为“相等”，确定直线上点的坐标，直接考查了学生对知识之间的相关性的理解以及对数形结合思想方法的理解，对日常教学具有积极、明确的导向作用．

图3

二、由“相等”确定“不等”

例3 （2012年北京市）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

（1）若α=60°且点P与点M重合（如图4），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

图4

图5

（2）在图5中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围.

解：（1）略.

（2）∠CDB=90°－α，证明略.

（3）45°＜α＜60°，理由如下：

当PQ=QD时，∠QPD=∠QDP=90°－α，所以∠APD=∠APQ－∠QPD=3α－90°，∠PAM=90°－∠APD=180°－3α.由点P不与点B、M重合可得0＜180°－3α＜α，解得45°＜α＜60°.

点评：此题的亮点是第（3）题，从题设的“PQ=QD”这一相等关系到要求的α的范围，需经历角度的转化、数形结合思想的合理应用，其命题思想及策略值得借鉴.

例4 （2011年河北省）如图6，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.（1）求c、b（用含t的代数式表示）；（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值.

图6

③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.

图7

点评：此题的亮点是第（2）题第③问，这是一道阅读理解题，易知共有8个“好点”：（2，－1）、（2，－2）、（2，－3）、（2，－4）、（3，－1）、（3，－2）、（3，－3）、（3，－4），要使抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，尝试画出抛物线知关键点是（2，－3）和（3，－2），当y=x2－tx经过点（2，－3）时，“好点”（2，－2）和（2，－1）在抛物线上方，此时－3=22－2t，解得t=.而x=3时，y=－在－1和－2之间，说明“好点”（3，－1）也在抛物线上方，所以抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分，必须满足t＞.另一方面，当y=x2－tx经过点（3，－2）时，“好点”（3，－1）在抛物线上方.此时－2=32－3t，解得t=.而x=2时，y=－在－3和－4之间，说明“好点”（2，－3）、（2，－2）、（2，－1）也在抛物线上方.所以抛物线要将这些“好点”分成数量相等的两部分，必须满足t＜.综上所述，t的取值范围是＜t＜.尽管此题“请直接写出t的取值范围”，但学生凭猜测解答的可能性很小，学生需自主探索、画图进行合情推理，把要解决的“不等”转化为“相等”来思考，很好地保证了对数形结合思想方法的考查，对提高数学学习的有效性具有一定的价值.

三、教学启示

（1）数学教学要注重数学知识之间的有机联系与相互转化，数学知识是相互联系的统一整体.教学中，教师要注重将各部分数学内容有机地整合，巧妙地进行分解与相互转化.一方面使学生加深对所学知识的理解，另一方面让学生感受数学知识之间的联系与相互转化，培养学生多角度、多层次、多途径分析问题和解决问题的能力，使学生在领略数学魅力的过程中学习数学，不断增强学好数学的愿望和信心.

（2）数学教学要注重数学知识之间的实质性关联和整体性，数学知识之间的联系，不仅表现在同一领域内容之间的联系，更表现在各种不同领域内知识体系之间的实质性关联.教学中，教师应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生了解、应用数学知识之间的关联，感受数学的整体性，引导学生初步形成“以联系的眼光研究数学、分析数学”的意识与能力，真正提高课堂教学的有效性.