浅谈学生数学思维品质的缺失及完善

刘长伟

（苏州市高新区吴县中学，江苏 苏州 215151）

浅谈学生数学思维品质的缺失及完善

刘长伟

（苏州市高新区吴县中学，江苏 苏州 215151）

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系、独特的公式结构、形象的图像语言，它对培养学生思维品质的作用无可替代的。但在常规教学中，常常会发现学生做的题总是会出现这样或那样的错误，究其原因就是学生的优良思维品质欠缺所导致的结果。教学中，教师若能针对学生在易出错的地方进行分析归纳，找出其错误的根源，然后再利用学生的“错误”资源进行教学，无论是对教师本人的成长还是学生的思维品质的完善都是非常有意义的，下面就学生经常出现的典型错误进行分析，窥探一下学生在解决数学问题过程中优良思维品质的缺失现象，以便为其在以后的学习中有所借鉴。

一、对概念本质的理解缺乏深刻性

李邦河院士在一次报告中谈到一个重要的思想：数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧。因为中小学数学里面的概念比较少，所以就在一些难题、技巧上下功夫，这恰恰是舍本逐末的做法，可见概念教学对学生的发展是多么的重要。

（1）在线段BC上任取点M，求BM＜1的概率；

（2）在∠BAC内作射线AM交BC于M，求BM＜1的概率．

[评注]教师在讲解一个新概念时，千万不要直接把概念、方法告诉学生，而是在教师的启发引导下， 让学生质疑、发现、探究、归纳、判断、概括新概念， 教会学生自己去建构，之后在实际应用中再让学生去感受概念的内涵，理解概念的本质，这样就会减少学生对概念本质理解不清的错误。

二、对数学思想的运用缺少灵活性

数学思想是数学知识的本质，是数学的灵魂，对数学的解题在宏观上有指导作用，但同一种思想在不同的背景，不同的条件下，不同的问题中其结论总会有所变化，同学们往往忽视了这种变化，还在套用前面的方法和经验，这样就难免会出错。

例2 已知数列{an}的通项公式an=n2+kn+2，若对n∈N*，有an+1＞an成立，则实数k的取值范围是_____

自从有了小弟，我们家增添了许多欢声笑语。我喜欢给他喂饭，看他一口接一口香香地吃着，心里美滋滋的。我喜欢和他一起洗澡，看他笨手笨脚去爬海洋球的池子，可爱极了！我喜欢和他一起玩滑滑梯，看他从滑梯上滑下来那股高兴劲儿，我比他还要开心！也不知道为什么会这样，大概跟他在一起时，我也觉得自己变小了、可以无忧无虑了吧。

[错解分析] 上面的转化其实并不等价，学生错把函数的单调性等价于数列的单调性，其实不然。

[评注] 数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学问题时应该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高学生的数学素养．但一定要让学生领会数学思想的精神实质，一定不要照搬照抄，要做到活灵活用。

三、忽略公式成立的条件，对数学性质的把握缺少严密性

学生刚刚学完一个公式或一条性质，难以抑制心中的兴奋，因为有了这个公式和这条性质，心中的那份“疑惑”或“难点”已经不复存在了，兴奋之余难免会“丢三落四”。

[错因分析]上面的做法显然忽视了运用基本不等式需满足的三个条件，一“正”二“定”三“相等”，其中“相等”是取等号的条件。

正解由奇函数的定义可知，在定义域内，f（-x）=-f（x）恒成立，化简得（k2-1）·4x=0

上式恒成立，∴k2-1=0，∴k=±1。

[评注]数学公式及数学性质揭示了数学知识的基本规律，具有一定的形式符号化的抽象性和概括性的特征，牢固掌握并能灵活运用数学公式是提高数学能力的重要前提，因此公式的教学十分重要，一定不要陷入“一背二套三运用”的教学模式，而要像概念教学一样，让学生自己去发现、探究、归纳、概括、在运用中反思、完善，教会学生自己去建构，最终纳入学生的知识体系。

四、忽略题中隐含条件或转化的等价性，缺乏思维的严谨性

这是学生在解决数学题时常常容易忽略的一个问题，从侧面也反映了学生在解决问题时严谨性的缺失，数学思维的严谨性是一种很重要的思维品质，教师在平时教学中应该注意对学生思维严谨性的培养。

例4（1）如果圆x2+y2+k2x+y-k=0关于直线y=x对称，求参数k的值。

[错解分析]此题学生忽略了圆的一般方程成立的隐含条件 D2+E2-4F＞0。当 k=-1时，D2+E2-4F=-2＜0 不合题意，而当k=1时，D2+E2-4F=6＞0符合题意。因此正确答案是k=1。

[评注]转化思想是一种很重要的数学思想，但转化的前提是新的问题要与原有的问题具有等价性。因此在转化时一定要注意问题中的条件，同学们往往忽视了这个条件，就破坏了问题中的等价性，因而造成解题错误。

五、以特殊代替一般，缺乏思维的批判性及思维结构的完善性

由特殊到一般，又由一般到特殊是人类认识客观事物的两个过程，两个过程相互依赖、互为补充的，而有时同学们在解决问题时，常常以特殊的结论代替了一般性的结论，逻辑上犯了”以偏概全“的错误。

[错解分析]上面将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是已知条件成立的充分条件，还需进一步地由特殊到一般。

正解：由 a1=a21，得 a1=0或 a1=1。

当 a1=0，可得 d=0 或 d=6，（ⅰ）若 a1=0，d=0，则 an=0，从而 SK2=（SK）2成立；（ⅱ）若 a1=0，d=6，则 an=6n-6，可以验证，所以不满足 SK2=（SK）2。当 a1=1，可得 d=0 或 d=2（ⅰ） 若 a1=1，d=0，则 an=1，Sn=n 从而 SK2=（SK）2成立；（ⅱ）若 a1=1，d=2 则 an=2n-1，Sn=n2，满足 SK2=（SK）2。

综上，满足条件的无穷等差数列有3个。（1）an=0，即 0，0，0，…（2），即 1，1，1，…

（3）an=2n-1 即 1，3，5…

[评注]批判性思维是以一般性思维能力（如比较、分类、分析、综合、抽象和概括等）为基础，同时还具有自己的独特性，批判性思维是指对所学的东西的真实性、精确性、性质进行个人的判断。如果说创造性思维是所谓的多谋，那么批判性思维就是所谓的善断。学生在学习过程中若能经常自觉地进行批判性的思维，对在解决问题中经常出现的认知性错误、逻辑性错误，、习惯性错误、策略性错误及心理性错误都会进行有效的遏制。

通过上面的一些典型错例的纠错分析来看，学生优良思维品质地养成教育，对提高学生分析问题及解决问题的能力至关重要，因此纠正“错误”应该成为教师很重要的一个课程资源。“错误”资源利用的好，它可以是强化概念、法则、公式、定理的有力工具，不但使学生达到对概念、法则与定理的透彻理解、巩固知识以致灵活运用的目的，还可以激活学生的创新思维，激发学生的学习兴趣，它对学生优良的思维品质的培养、完善具有十分重要的意义。

（责任编辑：张华伟）