浅谈数学解题反思的多重视角

成 霞

（南通中学，江苏 南通 226001）

浅谈数学解题反思的多重视角

成 霞

（南通中学，江苏 南通 226001）

数学解题反思的初期，主要是指解题后对解题过程的反思。其实，解题反思不仅仅是解题之后的重要环节，而且更是对整个解题活动深层次的思考，是再发现、再创造的过程。数学解题反思一般是从以下五个角度进行。

一、对审题的反思

很多学生解题时，存在一个问题，即草读一遍题目以后就盲目动手，不能做到正确的读题，审题。具体表现为，审题不明确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周，从而导致学生解题出错。

在此题中，“存在”一词容易被忽略，学生往往当成“任意”来解决，也就是说，学生容易将“存在性问题”混淆为“恒成立问题”，所以，学生对审题的反思是必不可少的。学生在对审题的反思中，也可以试着站在命题者的角度，揣摩命题者的意图，并试着自己逐个对条件的缺失加以分析，看看每个条件在解题中所充当的角色，这样就可以在面对新的问题时能够迅速地知因求果。

二、对解题思维过程的反思

学生解题基本完成后，对思维过程应进行“查漏补缺”，以使解题思维完整、全面、严谨。这样可达到排除疏忽之处，特别针对某些公式、定理等的适用范围是很有效的。比如，对“分母为零无意义”而言，出现了很多问题，如斜率，等比数列的前n项和，其实有时无意义也是一种意义。

若以特殊f（0）=0代入求解，其实思维是欠缺严谨的。奇函数只有在0处有定义时，才可以使用特殊的f（0）=0。而本题有可能在0处是无定义的，因而这样可能会漏解。臆造“定理”，判断无据，以日常概念代替科学概念是不严谨的。解题中受到题目中某些强势信息的主导和干扰，不能够周密地考虑问题，使解题过程偏离方向，造成误解。学生对解题思维过程进行反思，能及时修正错误，确保解题的合理性和正确性。

三、对解题方法的反思

高中数学知识纵横捭阖，题中可能存有代数、几何、三角的有机联系，每道题都可能有着灵活多变的解题思路，形态各异的解题方法，但最终却条条大路通罗马，殊途同归。学生所面对问题，条件反射出来的解题思路方法不一定就是最优的解法。教师应引领学生深入反思，回味寻求一题多解的发散思维，探究多题一解方法归一的问题，开拓思路，沟通知识，掌握规律，优选解法，使学生可以高屋建瓴地面对其他的问题。

还以例2来说明这个问题。选择f（0）=0，究其原因，比起利用定义f（-x）+f（x）=0去求解，确实简单，但是后者却为通法。那么我们是否可以反思，前一种方法是否可以拓展一番，将其不严谨之处变严谨呢？细想之下，就会找到出路，可分类讨论。其一：当0在定义域内时，可以使用f（0）=0；其二，当0不在定义域内时，那说明当x=0时，解析式无意义，那么不是同样可以建立等式吗？这样的反思令人豁然开朗。在解完题应注意进一步探讨，反思本题有无其他可行的解题方案方法，有无规律，在横向联系中归纳优化思维的经验和规律。由于在这个探索中体现了“创新”的精神，可以有效地提高学生解题的能力和水平。数学问题是形式多样的，有些题的形式虽然不一样，但也可归结到一种题型上去，教师通过一道题的教学，帮助学生做到会解同一类题。所以，学生解题后要反思题目实质，并进行归类，总结通解通法。在此基础上，如果有更方便的个性解法，就可优先使用该法。另外，学生对于解题方法反思的同时，还可以在思考解题过程中是否浪费了其他重要的信息，能否开辟新的解题通道？解题过程多走了哪些思维回路，思维、运算能否变得简捷？是否拘泥于思维定势，照搬了熟悉的解法？通过这样不断地质疑、不断改进，让学生解题过程更具有合理性、科学性、简捷性。但前提还是立足于通法通性的研究。有些数学问题具有一定的迷惑性，学生如果概念不清、见识不广，就容易混淆，错误地将不同问题混为一谈了。所以通过反思形相似，但质不同的题目，能够提高学生的辨别能力，避免错解的发生，这是一种总结性的反思。

四、对有联系问题的反思

教学中，教师要引领学生不断地去探究问题的知识结构和系统性，正如探究几何中“点、线、面”的关系一样，“点”是指每个问题所包含的一些知识点；“线”是指将这个问题中的知识点拉长拉深，加大思维的深度；“面”是指将这些知识点系统有机地整合。这样可以不断完善学生的数学知识结构。

本题从方法的联系上可以反思良多：未知数可以选择线段的长、倾斜角、斜率、坐标等。这些不一样的设法会采用不同的函数去研究最值。而从问题的联系上，可以试着去探索求△ABC面积的最值，周长的最值。很多看似孤立不相关的问题间却恰恰蕴藏着内在的联系。透过现象看本质，寻求问题间的本质联系，在这个问题的启发下，整合数学思想方法，一脉相承地去思考新的问题，甚至创造性地设置问题，在丰富不断的知识联系与整合中，体会到“新”的诞生，“创造”的魅力。而反思问题的本质，在知识联系中使问题逐渐深化。反思问题的拓展延伸，直接可以培养学生的问题意识与探究能力。

五、对所涉知识的反思

教学中，教师要帮助学生反思在解题中是否忽略了其他方面的知识，要反思对所涉及的知识是否有新的认识，要反思原有的认识有何缺陷，该怎样补救或“更新”。这样，学生才能更加深刻地理解知识，从而提高自我反馈、自我补救、自我总结的自主学习能力。

在试图利用双曲线的第二定义求解失败后，很多学生甚至怀疑题目的可行性，但其实是学生对所学的知识出现了盲点。当学生看到双曲线上一点到焦点的距离，不仅要联想到准线的距离，也要联想到和另一焦点的距离，灵活地使用双曲线第一、第二定义。整个问题也可以从结论出发，返璞归真，联想到三角形两边之和大于第三边及三点共线的特例，由此打开了解题的思路。点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累，更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量。在不断的反思后，学生才会在面对新的问题时做到“胸中有丘壑”。

波利亚曾指出，“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。所以，反思在数学学习的过程中时刻都是必要的。

（责任编辑：张华伟）