平中见奇 凡而不俗——一道高考试题的多样解答及教学思考

☉湖北省武汉市黄陂区第四中学 李红春

本题素材平朴、形态鲜活，可谓一道陈题，但采撷求解过程却是精彩纷呈，妙趣横生.

一、问题解决

在课堂上，通过教师的点拨和引导，学生集思广益、合作交流、积极探究，动态生成了以下十多种解法.1

二、解法点评

解析几何中的最值问题通常转化为函数的最值问题加以解决，题目中的变量往往相互联系，自变量的选取充满思辨性.解法1和解法2分别用基本不等式和判别式法求最值是通法，考验学生的数学基础；解法3和解法6用柯西不等式简洁明了，和新课程教学内容挂钩；解法4和解法5分别通过构造“点到直线的距离”和“向量的夹角”模型解题，展现了学生联想和构造的能力，是高考考查的热点；解法7、解法8、解法9渗透了函数与方程、数形结合、等价转化等思想，充分体现了用数学思想引领解题的大趋势；解法10、解法11抓住图形的特点进行直观分析，锻炼了学生的直觉思维能力.

三、教学思考

1.解题教学应以整合知识、发散思维和能力为目标

数学是思维的体操，如今的高考试题常在“知识网络的交汇点、思想方法的交织线和能力层次的交叉区”内命题.本节课通过一题多解，整合了知识结构，为学生从不同角度、不同层次思考问题提供了多维视角，使学生的思维在灵活性、广阔性、深刻性、创新性等方面得到了锻炼，发展了学生的思维，提高了学生的解题能力.众所周知，学习数学的过程与数学解题紧密联系，而数学能力的提高在于解题的质量而非解题数量.显然，分析和研究高考试题的解题思路、探究解题过程是学生学会解题和掌握数学技能的有效途径，对发展学生的思维、提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益.因而，解题教学应以整合知识、发散思维和能力为目标，注重引导学生探究解题的方向和策略，帮助学生在解题过程中不断总结经验、积累解题的思维方法，帮助学生构建知识网络，深化学生的理性认识，提高学生的思维水平.

2.解题教学应注重挖掘高考题的潜在教学功能

本题是2006年上海高考文科试题，可谓一道陈题，然而笔者通过挖掘与丰富，这道题便成为学生课堂发散性思维训练的良好素材，课堂教学中既巩固了高中数学中解析几何、函数、不等式、三角、向量、导数等诸多主干知识，又渗透了函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法的运用.我们常常强调高考题在高三复习教学中的地位和作用，认为它是高考命题组集体智慧的结晶和今后高考命题的生长点，那么具体怎样实施？这是一个永恒的话题.高考试题通常简明扼要、难度适当、编排合理，它们在知识上具有典型性，在方法上具有示范性.因此，只有教师在平常的教学中，抓住历年高考题中的经典例子，精心设计课堂教学，注重高考题的分析与研讨，在传授知识过程中充分挖掘高考题的潜在教学功能，做到以少胜多，举一反三，不仅可以巩固课堂所学基础知识，渗透思想方法和数学思维，还能激发学生学习数学的兴趣，开拓学生的解题思路，扩大解题的“武器库”，这样才能有效地培养学生的数学能力，真正为学生减负.