反比例函数中的面积问题解题策略

☉河南省新乡市第十中学 郭 蕊

一般地，如图1，过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AM、AN，所得矩形AMON的面积为S=AM×AN=，又因为y=，所以xy=k，所以这就是说，过双曲线上任一点，作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为

这是反比例函数中的一个重要的结论，由此进行变式和拓展是每年中考的热点，解答这类问题要注意转化思想的应用，即将所求问题通过适当形式的转化，将问题与题例中的面积问题建立联系，现就其中的一些转化策略举例说明，供读者参考.

一、对称转化

点评：本题考查待定系数法求反比例函数的解析式及反比例函数的图像的对称性.解题的关键是利用对称性将两个阴影部分面积的和转化为正方形的面积.

二、等积转化

解析：连接OA，OB，根据反比例函数几何意义可知

因为l∥x轴，所以S△AOB=S△APB.

所以S△PAB＝S△PAC＋S△PBC＝S△OAC＋S△OBC＝3＋1＝4.

点评：本题通过平行，依据同底等高的三角形面积相等，将所求三角形的面积转化为题例中的面积问题.

三、割补转化

解析：过A点作AE⊥y轴，垂足为E.

点评：本题通过通过图形的面积的加减，将无法直接计算的四边形面积问题转化为可计算的图形的面积.

四、数量转化

点评：本题通过添加辅助线，依据相关几何知识将平行四边形的面积与题例中的图形面积之间建立联系.

综上，在解答有关面积问题时，如果无法直接计算，我们通常采用转化的思想方法，即将不规则的图形的面积转化为规则的，可计算的图形的面积.转化思想是初中数学基本数学思想之一，转化思想就是将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决的一种思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.转化思想在中学数学中无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.