谈谈动态探究型问题

☉安徽省长丰县城关中学 轩传利

☉安徽省舒城县阙店中学 任保平

谈谈动态探究型问题

☉安徽省长丰县城关中学 轩传利

☉安徽省舒城县阙店中学 任保平

探究几何图形在运动变化过程中与图形相关的某些量的变化规律或其中蕴含的结论，这类题目叫动态探究型问题.它主要有以下几种类型：动点问题、动直线问题、图形变换问题等.对于动态几何探究型问题，要注意用运动和变化的眼光去观察和研究几何图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系，并特别关注一些不变量、不变关系和特殊关系，善于化“动”为“静”，由特殊情形入手，逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及各种数学思想方法加以解决.

题型一 动点问题

1.单动点问题

例1 如图1，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（ ）.

A.逐渐增大 B.不变

C.逐渐减小 D.先增大后减小

解析：本题中的不变量有两个：△OAB中的底OA和反比例函数y＝中k＝3的值不变，其中的变量是点B的横、纵坐标，当横坐标不断增大时，纵坐标不断减小，所以相当于△OAB的高不断减小，在底不变时，这个底边上的高不断减小，所以面积也就是不断减小.

答案：C

点评：对于动态问题，关键是发现条件中的不变量与变量，抓住反比例函数中k的值不变这一条件是解决此问题的关键.

例2（2012年甘肃兰州市）如图2，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为（ ）.

点评：根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形ABC，再根据30°的直角三角形的性质，可求出AB的长.△BEF是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE＝90°，②∠BEF＝90°.在上述两种情况所得到的直角三角形中，已知BC边和∠B的度数，即可求得BE的长；由AE＝AB-BE即可求出AE的长，也就能得出E点运动的距离（有两种情况），从而求出t的值.此题综合考查了圆周角定理的推论、垂径定理以及直角三角形的性质，是一道动态题，同时还考查了分类讨论的数学思想，有一定的难度.

2.双动点问题

（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变（如图5）.理由如下：

所以当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.

点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键.

题型二 动线问题

例5（2012年广东珠海市）如图6①，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒.

点评：本题综合性很强，难度较大，注意数形结合、分类讨论思想与函数思想的应用.解答问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径.

题型三 动图问题

例6 （2012年四川南充市）如图7，在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.

（1）求证：MA＝MB.

（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

分析：（1）连接OM.证明△AMO S△AMO即可.（2）在Rt△AOB中，运用勾股定理求得AB的长，转化成二次函数的问题，运用二次函数的最值求解.

解：（1）如图8，连接OM.

点评：本题以直角三角形为基本图形，综合考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理和二次函数的性质等知识点.考查学生综合运用数学知识以及转化的数学思想解决问题的能力.对于几何知识与二次函数的综合，是学生解题的难点之一.

例7 如图9，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.

（1）求证：CE=CF.

（2）将图9中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图10所示，试猜：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.

点评：本题主要考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等.证线段相等常用的方法：①全等三角形对应线段相等；②等量代换相等.

例8（2012年贵州省毕节市）如图11①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′.

（1）如图11②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是______形.

（2）如图11③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为______度；连接CC′，则四边形CDBC′是______形.

（3）如图11④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由.

分析：（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可.（2）利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可.（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CB，即可得出答案.

点评：此题主要考查图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识，熟练掌握判定定理是解题的关键.

*本文系2011年安徽省六安市教育科学规划重点课题（LM11038）“与新课程相适应的学生作业设计研究”的部分研究成果.